Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\) có ba

Câu hỏi số 550601:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\) có ba điểm cực trị là \( - 2; - 1\) và \(1\). Gọi \(y = g\left( x \right)\) là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) bằng:

A. \(\dfrac{500}{81}\)

B. \(\dfrac{36}{5}\)

C. \(\dfrac{{2932}}{{405}}\)

D. \(\dfrac{{2948}}{{405}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:550601

Phương pháp giải

- Tính f’(x), dựa vào các điểm cực trị đồng nhất hệ số tìm f’(x).

- Đặt \(f\left( x \right) = Af'\left( x \right) + m{x^2} + nx + p\). Tìm m, n, p.

- Suy ra hàm g(x) là hàm bậc hai đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x).

- Giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x).

- Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 12{x^3} + 3a{x^2} + 2bx + c = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow f'\left( x \right) = 12\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 12\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 12{x^3} + 24{x^2} - 12x - 24\end{array}\)

Đồng nhất hệ số ta có \(\left\{ \begin{array}{l}3a = 24\\2b = - 12\\c = - 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = - 6\\c = - 24\end{array} \right.\).

Khi đó \(f\left( x \right) = 3{x^4} + 8{x^3} - 6{x^2} - 24x + d\).

Đặt \(f\left( x \right) = Af'\left( x \right) + m{x^2} + nx + p\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) = 4m + 2n + p = 8 + d\,\,\,\,\left( 1 \right)\\f\left( { - 1} \right) = m - n + p = 13 + d\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\f\left( 1 \right) = m + n + q = - 19 + d\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array} \right.\)

Trừ vế theo vế của (2) và (3) ta có \( - 2n = 32 \Leftrightarrow n = - 16\), khi đó ta có

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}4m + p = - 24 + d\\m + p = - 3 + d\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 7\\p = d + 4\end{array} \right.\\ \Rightarrow f\left( x \right) = Af'\left( x \right) - 7{x^2} - 16x + d + 4\end{array}\)

Đặt \(g\left( x \right) = - 7{x^2} - 16x + d + 4\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( { - 2} \right) = f\left( { - 2} \right)\\g\left( { - 1} \right) = f\left( { - 1} \right)\\g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right)\end{array} \right.\). Do đó đây là hàm bậc hai đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x).

Xét phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^4} + 8{x^3} - 6{x^2} - 24x + d = - 7{x^2} - 16x + d + 4\\ \Leftrightarrow 3{x^4} + 8{x^3} + {x^2} - 8x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {3{x^3} + 11{x^2} + 12x + 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\\x = - \dfrac{2}{3}\\x = - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Do đó diện tích cần tính là:

\(S = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 2}^1 {\left| {3{x^4} + 8{x^3} + {x^2} - 8x - 4} \right|dx} \)

\(\,\,\,\, = \left| {\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\left( {3{x^4} + 8{x^3} + {x^2} - 8x - 4} \right)dx} } \right|\)\( + \left| {\int\limits_{ - 1}^{ - \dfrac{2}{3}} {\left( {3{x^4} + 8{x^3} + {x^2} - 8x - 4} \right)dx} } \right|\)\( + \left| {\int\limits_{ - \dfrac{2}{3}}^1 {\left( {3{x^4} + 8{x^3} + {x^2} - 8x - 4} \right)dx} } \right|\)

\(\,\,\,\, = \dfrac{{16}}{{15}} + \dfrac{{16}}{{405}} + \dfrac{{500}}{{81}} = \dfrac{{2948}}{{405}}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.