Cho khối nón đỉnh \(S\) có bán kính đáy bằng \(2\sqrt 3 a\). Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm thuộc

Câu hỏi số 550603:

Vận dụng

Cho khối nón đỉnh \(S\) có bán kính đáy bằng \(2\sqrt 3 a\). Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho \(AB = 4a\). Biết khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) bằng \(2a\), thể tích của khối nón đã cho bằng:

A. \(\dfrac{{8\sqrt 2 }}{3}\pi {a^3}\)

B. \(4\sqrt 6 \pi {a^3}\)

C. \(\dfrac{{16\sqrt 3 }}{3}\pi {a^3}\)

D. \(8\sqrt 2 \pi {a^3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:550603

Phương pháp giải

- Gọi M là trung điểm của AB. Trong (SOM) kẻ \(OH \bot SM\). Chứng minh \(OH \bot \left( {SAB} \right)\).

- Sử dụng định lí Pytago tính OM.

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính OH.

- Thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đáy R là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\).

Giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của AB. Trong (SOM) kẻ \(OH \bot SM\).

Ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OM\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow AB \bot OH\\\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SM\\OH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SAB} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = OH = 2a\).

Ta có AM = BM = 2a.

Áp dụng định lí Pytago có: \(OM = \sqrt {O{A^2} - A{M^2}} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 a} \right)}^2} - {{\left( {2a} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 a\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOM:

\(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{S{O^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}} - \dfrac{1}{{O{M^2}}} = \dfrac{1}{{4{a^2}}} - \dfrac{1}{{8{a^2}}} = \dfrac{1}{{8{a^2}}}\)

\( \Rightarrow OH = 2\sqrt 2 a\).

Vậy \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {2\sqrt 3 a} \right)^2}.2\sqrt 2 a = 8\sqrt 2 {a^3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.