Có bao nhiêu số nguyên \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\), tồn tại ít nhất bốn số nguyên \(b \in
Có bao nhiêu số nguyên \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\), tồn tại ít nhất bốn số nguyên \(b \in \left( { - 12;12} \right)\) thỏa mãn \({4^{{a^2} + b}} \le {3^{b - a}} + 65\)?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Biến đổi \({3^{b - a}} = \dfrac{{{3^b}}}{{{3^a}}}\), quy đồng sau đó chia cả 2 vế cho \({4^b}\).
- Xét hàm số f(b) ẩn b, coi a là tham số, chứng minh hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
- Để tồn tại ít nhất 4 số nguyên \(b \in \left( { - 12;12} \right)\) thì -8 là nghiệm của bất phương trình.
- Sử dụng TABLE trong MTCT tìm a.
Ta có
\(\begin{array}{l}{4^{{a^2} + b}} \le {3^{b - a}} + 657\\ \Leftrightarrow {4^{{a^2}}}{.4^b} \le \dfrac{{{3^b}}}{{{3^a}}} + 657\\ \Leftrightarrow {4^{{a^2}}}{.4^b}{.3^a} \le {3^b} + {657.3^a}\\ \Leftrightarrow {4^{{a^2}}}{.3^a} \le {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^b} + {657.3^a}.{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^b}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^b} + {657.3^a}.{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^b} - {4^{{a^2}}}{.3^a} \ge 0\end{array}\)
Đặt \(f\left( b \right) = {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^b} + {657.3^a}.{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^b} - {4^{{a^2}}}{.3^a}\) (coi a là tham số).
Ta có \(f'\left( b \right) = {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^b}\ln \dfrac{3}{4} + {657.3^a}.{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^b}\ln \dfrac{1}{4} < 0\,\,\forall b\), do đó hàm số f(b) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).
Ta có BBT:
\( \Rightarrow \exists {b_0}\) sao cho \(f\left( b \right) = 0\), khi đó \(f\left( b \right) \ge 0 \Leftrightarrow b \le {b_0}\).
Để tồn tại ít nhất 4 số nguyên \(b \in \left( { - 12;12} \right)\) thì -8 là nghiệm của bất phương trình.
\( \Rightarrow f\left( { - 8} \right) \ge 0\)
\( \Rightarrow {\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{ - 8}} + {657.3^a}.{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^{ - 8}} - {4^{{a^2}}}{.3^a} \ge 0\).
Sử dụng chức năng TABLE ta có \(a \in \left\{ { - 3; - 2;...;3} \right\}\). Có 7 giá trị thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
