Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2}

Câu hỏi số 550605:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 6} \right)^2} = 50\) và đường thẳng \(d:\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y + 2}}{4} = \dfrac{{z - 3}}{{ - 1}}\). Có bao nhiêu điểm \(M\) thuộc trục hoành, với hoành độ là số nguyên, mà từ \(M\) kẻ được đến \(\left( S \right)\) hai tiếp tuyến cùng vuông góc với \(d\)?

A. \(29\)

B. \(33\)

C. \(55\)

D. \(28\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:550605

Phương pháp giải

- Gọi M(m;0;0) thuộc Ox \(\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\).

- Gọi (Q) là mặt phẳng qua M sao cho \(d \bot \left( Q \right)\). Viết phương trình mặt phẳng (Q).

- Để từ M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (S) thì: M nằm ngoài (S) (1) và (Q) cắt (S) (2).

- Xét (1): M nằm ngoài (S) \( \Leftrightarrow IM > R\)

- Xét (2): (Q) cắt (S) \( \Leftrightarrow d\left( {I;\left( Q \right)} \right) < R\)

Giải chi tiết

Gọi M(m;0;0) thuộc Ox \(\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\).

Gọi (Q) là mặt phẳng qua M sao cho \(d \bot \left( Q \right)\).

Khi đó ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;4; - 1} \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng \(2x + 4y - z - 2m = 0\).

Để từ M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (S) thì: M nằm ngoài (S) (1) và (Q) cắt (S) (2).

Xét (1): M nằm ngoài (S)

Mặt cầu (S) có tâm I(4;-3;-6), bán kính \(R = 5\sqrt 2 \).

Khi đó

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow IM > R \Leftrightarrow {\left( {m - 4} \right)^2} + 9 + 36 > 50\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\left( {m - 4} \right)^2} > 5 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 4 + \sqrt 5 \\m < 4 - \sqrt 5 \end{array} \right.\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét (2): (Q) cắt (S)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {I;\left( Q \right)} \right) < R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {8 - 12 + 6 - 2m} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {1^2}} }} < 5\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \left| {2 - 2m} \right| < 5\sqrt {42} \\ \Leftrightarrow - 5\sqrt {42} < 2 - 2m < 5\sqrt {42} \\ \Leftrightarrow 2 - 5\sqrt {42} < 2m < 2 + 5\sqrt {42} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{2 - 5\sqrt {42} }}{2} < m < \dfrac{{2 + 5\sqrt {42} }}{2}\,\,\left( {**} \right)\end{array}\)

Kết hợp (*) và (**) ta có \(\left[ \begin{array}{l}4 + \sqrt 5 < m < \dfrac{{2 + 5\sqrt {42} }}{2}\\\dfrac{{2 - 5\sqrt {42} }}{2} < m < 4 - \sqrt 5 \end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 15;1} \right] \cup \left[ {7;17} \right]\end{array} \right.\).

Vậy có 28 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.