Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn 0 < x < 1, 0 < y < 1 Chứng minh rằng x + y + x +

Câu hỏi số 55093:

Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn 0 < x < 1, 0 < y < 1

Chứng minh rằng x + y + x $\sqrt{1-y^{2}}$ + y $\sqrt{1-x^{2}}$ ≤ $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

A. Kho thư viện đề thi môn Toán lớp 9

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:55093

Giải chi tiết

Cách 1 : Ta có x + y + x $\sqrt{1-y^{2}}$ + y $\sqrt{1-x^{2}}$

= x + y + √3( $\sqrt{\frac{x^{2}}{3}(1-y^{2})}$ + $\sqrt{\frac{y^{2}}{3}(1-x^{2})}$ (vì x, y > 0)

Theo gt thì 0 < x; y < 1. Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương $\frac{x^{2}}{3}$ ; 1 - y² và $\frac{y^{2}}{3}$ ; 1 - x²

ta có :

2 $\sqrt{\frac{x^{2}}{3}(1-y^{2})}$ ≤ $\frac{x^{2}}{3}$ + (1 - y² ) ; 2 $\sqrt{\frac{y^{2}}{3}(1-x^{2})}$ ≤ $\frac{y^{2}}{3}$ + (1 - x²)

=> 2( $\sqrt{\frac{x^{2}}{3}(1-y^{2})}$ + $\sqrt{\frac{y^{2}}{3}(1-x^{2})}$ ) ≤ $\frac{x^{2}}{3}$ + (1 - y² ) + $\frac{y^{2}}{3}$ + (1 - x²)

= $\frac{x^{2}}{3}$ - x² - y² + $\frac{y^{2}}{3}$ + 2 = $\frac{-2(x^{2}+y^{2})+6}{3}$

=> $\sqrt{\frac{x^{2}}{3}(1-y^{2})}$ + $\sqrt{\frac{y^{2}}{3}(1-x^{2})}$ ≤ $\frac{(x^{2}+y^{2})+3}{3}$

=> x + y + √3( $\sqrt{\frac{x^{2}}{3}(1-y^{2})}$ + $\sqrt{\frac{y^{2}}{3}(1-x^{2})}$ ≤

x + y + $\frac{-\sqrt{3}}{3}$ (x² + y² ) + √3

Mặt khác (x - y)²≥ 0 ⇔ x² + y² ≥ 2xy ⇔ 2(x² + y² ) ≥ (x + y)²

⇔ $\frac{-\sqrt{3}}{3}$ (x² + y²) ≤ $\frac{-\sqrt{3}}6{}$ (x + y)²

=> x + y + √3( $\sqrt{\frac{x^{2}}{3}(1-y^{2})}$ + $\sqrt{\frac{y^{2}}{3}(1-x^{2})}$ ≤ x + y + $\frac{-\sqrt{3}}6{}$ (x + y)²+ √3

= $\frac{-\sqrt{3}}6{}$ (x + y)²+ 2√3. $\frac{\sqrt{3}}6{}$ (x + y) + $\frac{-3\sqrt{3}}6{}$ + $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

= $\frac{-\sqrt{3}}6{}$ [(x + y)²- 2√3(x + y) + 3 ] + $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (thỏa mãn ĐK 0< x ; y < 1)

Cách 2 : BĐT tương đương 9 - 2√3x - 2√3y - 2√3.x $\sqrt{1-y^{2}}$ - 2√3y. $\sqrt{1-x^{2}}$ ≥ 0

⇔ 2x² - 2√3x + $\frac{3}{2}$ + y²- 2√3y + $\frac{3}{2}$ + x²- 2√3x $\sqrt{1-y^{2}}$ + 3 - 3y²+ y² - 2√3.y. $\sqrt{1-x^{2}}$ + 3 - 3x²≥ 0

⇔ 2(x - $\frac{\sqrt{3}}{2}$ )² + 2(y - $\frac{\sqrt{3}}{2}$ )²+ (x - $\sqrt{3(1-y^{2})}$ )² + (y - $\sqrt{3(1-x^{2})}$ )²

≥ 0 luôn đúng

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ (thỏa mãn ĐK 0< x ; y < 1)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link