Xác định \(m\) để đồ thị hàm số \(\left( C \right):\,\,y = 5{x^4} - 8{x^2} + m\) cắt trục hoành

Câu hỏi số 551593:

Vận dụng

Xác định \(m\) để đồ thị hàm số \(\left( C \right):\,\,y = 5{x^4} - 8{x^2} + m\) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\) và trục hoành có phần trên và dưới bằng nhau

A. \(\frac{9}{{16}}\)

B. \(\frac{{16}}{9}\)

C. \(\frac{{25}}{{16}}\)

D. \(\frac{{16}}{{25}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:551593

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm: \(5{x^4} - 8{x^2} + m = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Phương trình \(\left( * \right)\) phải có 4 nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow 5{t^2} - 8t + m = 0\,\,\,\left( {t = {x^2}} \right)\) phải có 2 nghiệm phân biệt \({t_1};{t_2} > 0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = 16 - 5m > 0\\{t_1} + {t_2} = \frac{8}{5} > 0\\{t_1}.{t_2} = \frac{m}{5} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \frac{{16}}{5}\\\,\forall m \in {\bf{R}}\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \frac{{16}}{5}\,\,\,\left( {**} \right)\)

* Yêu cầu bài toán: \({S_1} + {S_3} = {S_2}\)

Theo tính chất đồ thị thì \({S_1} = {S_3}\)

Giả sử phương trình \(\left( * \right)\) có 4 nghiệm \({x_1};{x_2}; - {x_1}; - {x_2}\)

\( \Rightarrow {S_2} = 2.\int\limits_0^{{x_1}} {\left( {5{x^4} - 8{x^2} + m} \right)dx} \)

\( \Rightarrow 2{S_3} = 2.\int\limits_0^{{x_1}} {\left( {5{x^4} - 8{x^2} + m} \right)dx} \Rightarrow {S_3} = \int\limits_0^{{x_1}} {\left( {5{x^4} - 8{x^2} + m} \right)dx} \)

Mà \({S_3} = - \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {5{x^4} - 8{x^2} + m} \right)dx} \)

\( \Rightarrow - \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left( {5{x^4} - 8{x^2} + m} \right)dx} = \int\limits_0^{{x_1}} {\left( {5{x^4} - 8{x^2} + m} \right)dx} \Leftrightarrow \int\limits_0^{{x_2}} {\left( {5{x^4} - 8{x^2} + m} \right)dx} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left. {\left( {{x^5} - \frac{8}{3}{x^3} + mx} \right)} \right|_0^{{x_2}} = 0 \Leftrightarrow {x_2}^5 - \frac{8}{3}{x_2}^3 + m{x_2} = 0\)

\(\left( 1 \right)\)

Mà \({x_2}\) là nghiệm của phương trình \(\left( * \right) \Rightarrow 5{x^4} - 8{x^2} + m = 0\)

\( \Rightarrow m = - 5{x^4} + 8{x^2}\), thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được:

\({x_2}^4 - \frac{8}{3}{x_2}^2 + \left( { - 5{x_2}^4 + 8{x_2}^2} \right) = - 4{x_2}^4 + \frac{{16}}{3}{x_2}^2 = 0 \Leftrightarrow {x_2}^2 = \frac{4}{3}\)

\( \Rightarrow m = - 5.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^4} + 8.{\left( {\frac{4}{3}} \right)^2} = \frac{{16}}{9}\,\,\,\left( {t/m\,\,\left( {**} \right)} \right)\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.