Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 2\\{x^2} - 1\,\,\,khi\,\,x >

Câu hỏi số 551703:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}x + 1\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 2\\{x^2} - 1\,\,\,khi\,\,x > 2\end{array} \right.\). Giá trị của tích phân \(\int\limits_0^{2\sqrt 2 } {\dfrac{{2xf\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}dx} \).

A. \(\dfrac{{47}}{3}\)

B. \(\dfrac{{79}}{3}\)

C. \(\dfrac{{79}}{6}\)

D. \(\dfrac{{47}}{6}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:551703

Phương pháp giải

Đổi biến \(t = \sqrt {1 + {x^2}} \).

Chia cận và lấy hàm phù hợp với từng cận.

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sqrt {1 + {x^2}} \Rightarrow {t^2} = 1 + {x^2} \Rightarrow tdt = xdx\).

Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 1,\,\,x = 2\sqrt 2 \Rightarrow t = 3\).

Ta có

\(\begin{array}{l}\int\limits_0^{2\sqrt 2 } {\dfrac{{2xf\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}dx} = \int\limits_1^3 {\dfrac{{2tf\left( t \right)}}{t}dt} = 2\int\limits_1^3 {f\left( t \right)dt} \\ = 2\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 2\left( {\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} } \right)\\ = 2\left( {\int\limits_1^2 {\left( {x + 1} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 1} \right)dx} } \right)\\ = 2\left( {\dfrac{5}{2} + \dfrac{{16}}{3}} \right) = \dfrac{{47}}{3}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.