Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và cạnh bên \(SA = a\sqrt 2 \).

Câu hỏi số 551704:

Vận dụng

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và cạnh bên \(SA = a\sqrt 2 \). Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD) bằng:

A. \(\dfrac{{a\sqrt {142} }}{{14}}\)

B. \(\dfrac{{3a\sqrt {142} }}{{56}}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt {42} }}{{21}}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt {42} }}{{28}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:551704

Phương pháp giải

- Xác định tâm I là giao điểm của SO và mặt trung trực của một cạnh bên.

- Tính SI, tính tỉ số \(\dfrac{{SI}}{{SO}}\).

- Chứng minh \(\dfrac{{SI}}{{SO}} = \dfrac{{d\left( {I;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)}}\).

- Gọi N là trung điểm của CD, trong (SON) kẻ \(OH \bot SN\), chứng minh \(OH \bot \left( {SCD} \right)\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính OH.

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi M là trung điểm của SB, trong (SOB) kẻ đường thẳng vuông góc với SB cắt SO tại I.

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.

Dễ thấy \(\Delta SIM \sim \Delta SBO\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SB}} = \dfrac{{SM}}{{SO}} \Rightarrow SI = \dfrac{{SB.SM}}{{SO}}\).

ABCD là hình vuông cạnh a nên \(BO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow SO = \sqrt {S{B^2} - B{O^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

\( \Rightarrow SI = \dfrac{{SB.SM}}{{SO}} = \dfrac{{a\sqrt 2 .\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SO}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}:\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow d\left( {I;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Gọi N là trung điểm của CD, trong (SON) kẻ \(OH \bot SN\) \( \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right)\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SON: \(OH = \dfrac{{SO.ON}}{{\sqrt {S{O^2} + O{N^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{{14}}\).

Vậy \(d\left( {I;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{{21}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.