Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và cạnh bên \(SA = a\sqrt 2 \).
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và cạnh bên \(SA = a\sqrt 2 \). Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (SCD) bằng:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Xác định tâm I là giao điểm của SO và mặt trung trực của một cạnh bên.
- Tính SI, tính tỉ số \(\dfrac{{SI}}{{SO}}\).
- Chứng minh \(\dfrac{{SI}}{{SO}} = \dfrac{{d\left( {I;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)}}\).
- Gọi N là trung điểm của CD, trong (SON) kẻ \(OH \bot SN\), chứng minh \(OH \bot \left( {SCD} \right)\).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính OH.
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi M là trung điểm của SB, trong (SOB) kẻ đường thẳng vuông góc với SB cắt SO tại I.
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.
Dễ thấy \(\Delta SIM \sim \Delta SBO\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SB}} = \dfrac{{SM}}{{SO}} \Rightarrow SI = \dfrac{{SB.SM}}{{SO}}\).
ABCD là hình vuông cạnh a nên \(BO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) \( \Rightarrow SO = \sqrt {S{B^2} - B{O^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).
\( \Rightarrow SI = \dfrac{{SB.SM}}{{SO}} = \dfrac{{a\sqrt 2 .\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
\( \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SO}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}:\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow d\left( {I;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {O;\left( {SCD} \right)} \right)\).
Gọi N là trung điểm của CD, trong (SON) kẻ \(OH \bot SN\) \( \Rightarrow OH \bot \left( {SCD} \right)\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SON: \(OH = \dfrac{{SO.ON}}{{\sqrt {S{O^2} + O{N^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{{14}}\).
Vậy \(d\left( {I;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {42} }}{{21}}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
