Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} =

Câu hỏi số 551708:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{z}{2}\) và điểm A(2;2;-1). Phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất là \(8x + ay + bz + d = 0\). Tính T = a + b + d.

A. 5

B. 13

C. -9

D. 3

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:551708

Phương pháp giải

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên (P) và đường thẳng d. Chứng minh \(d{\left( {A;\left( P \right)} \right)_{\max }} = AK\) \( \Leftrightarrow H \equiv K\). Khi đó \(AK \bot \left( P \right)\).

Tham số hóa tọa độ điểm K thuộc d theo biến t. Giải \(\overrightarrow {AK} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\) tìm t.

Tìm tọa độ điểm M bất kì thuộc (d).

Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với AK.

Giải chi tiết

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên (P) và đường thẳng d.

Vì \(AH \bot \left( P \right) \Rightarrow AH \bot HK\), do đó \(AH \le AK\).

\( \Rightarrow d{\left( {A;\left( P \right)} \right)_{\max }} = AK \Leftrightarrow H \equiv K\). Khi đó \(AK \bot \left( P \right)\).

Gọi \(K\left( { - 1 + t;1 + t;2t} \right) \in d\) ta có \(\overrightarrow {AK} = \left( {t - 3;t - 1;2t + 1} \right)\).

Đường thẳng d có 1 VTCP là \(\overrightarrow u = \left( {1;1;2} \right)\).

Vì \(AK \bot d \Rightarrow \overrightarrow {AK} .\overrightarrow {{u_d}} = 0\)\( \Leftrightarrow t - 3 + t - 1 + 4t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{3}\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AK} = \left( { - \dfrac{8}{3}; - \dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3}} \right)//\left( {8;2; - 5} \right)\).

Vì \(AK \bot \left( P \right)\) nên (P) nhận \(\overrightarrow n \left( {8;2; - 5} \right)\) làm 1 VTPT.

Lấy \(M\left( { - 1;1;0} \right) \in d \Rightarrow M \in \left( P \right)\).

Suy ra phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là: \(8\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - 1} \right) - 5z = 0 \Leftrightarrow 8x + 2y - 5z + 6 = 0\).

Vậy a = 2, b = -5, d = 6 nên T = a + b + d = 3.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.