Cho mặt cầu (S) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2}

Câu hỏi số 551714:

Vận dụng cao

Cho mặt cầu (S) có phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 25\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + 2y + 2z + 6 = 0\). Một hình nón tròn xoay có đáy nằm trên (P), có chiều cao h = 15, có bán kính đáy bằng 5. Hình cầu và hình nón nằm về một phía đối với mặt phẳng (P). Người ta cắt hai hình đó bởi mặt phẳng (Q) có phương trình \(x + 2y + 2z + d = 0\), \(0 < d < 21\) thu được hai thiết diện có tổng diện tích là S. Biết rằng S đạt giá trị lớn nhất khi \(d = \dfrac{a}{b}\), \(a,\,\,b \in {\mathbb{Z}^ + }\) (phân số \(\dfrac{a}{b}\) tối giản). Tính giá trị T = a + b.

A. T = 25

B. T = 19

C. T = 73

D. T = 85

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:551714

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Mặt cầu (S): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 25\) có tâm I(1;2;2), bán kính R = 5.

Ta có: \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 + 4 + 4 + 6} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 5 = R\) nên mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại H.

Bán kính đáy hình nón r = 5 = R, (P) // (Q).

Giả sử (Q) giao IH tại K.

Vì càng gần đáy hình nón thì diện tích thiết diện thu được càng lớn, nên ta đặt \(x = d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {d - 6} \right|}}{3}\,\,\left( {0 < x \le 5} \right)\).

Khi đó bán kính của thiết diện với mặt cầu (S) là \(r_1^2 = {R^2} - {\left( {5 - x} \right)^2} = 10x - {x^2}\).

Bán kính thiết diện thứ hai thỏa mãn \(\dfrac{{{r_2}}}{r} = \dfrac{{15 - x}}{{15}} \Rightarrow {r_2} = \dfrac{{15 - x}}{3} \Rightarrow r_2^2 = \dfrac{{{{\left( {15 - x} \right)}^2}}}{9}\).

Xét tổng: \(r_1^2 + r_2^2 = 10x - {x^2} + \dfrac{{{{\left( {15 - x} \right)}^2}}}{9} = - \dfrac{8}{9}{x^2} + \dfrac{{20}}{3}x + 25\) đạt GTLN tại \(x = - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{{\dfrac{{20}}{3}}}{{2.\dfrac{{ - 8}}{9}}} = \dfrac{{15}}{4}\).

Khi đó \(\dfrac{{\left| {d - 6} \right|}}{3} = \dfrac{{15}}{4} \Leftrightarrow d = \dfrac{{69}}{4} = \dfrac{a}{b}\).

Vậy a = 69, b = 4 nên \(T = a + b = 73\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.