Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho \(d:\dfrac{{x - 4{m^2}}}{2} = \dfrac{{y + 2m}}{{ - 2}} = \dfrac{{z +

Câu hỏi số 551966:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho \(d:\dfrac{{x - 4{m^2}}}{2} = \dfrac{{y + 2m}}{{ - 2}} = \dfrac{{z + 2}}{1}\) và \(A\left( { - 1;2;1} \right),B\left( {1; - 2;0} \right)\). Gọi \(C,D\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(A,B\) lên \(d\). Biết khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích nhỏ nhất. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. \(m \in \left( {0;\dfrac{1}{4}} \right)\)

B. \(m \in \left( {\dfrac{{ - 1}}{4};0} \right)\)

C. \(m \in \left( {\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}} \right)\)

D. \(m \in \left( {\dfrac{{ - 1}}{2};\dfrac{{ - 1}}{4}} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:551966

Phương pháp giải

- Tìm phương trình mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \(d\), qua \(B\) và vuông góc với \(d\).

- Tính độ dài cạnh \(CD\).

- Gọi \(\alpha \) là góc giữa 2 đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( {AB} \right)\).

- Sử dụng công thức \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}d\left( {d;AB} \right).CD.AB.\sin \alpha \)

Giải chi tiết

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(\left( d \right)\)là:

\(2\left( {x + 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) + \left( {z - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x - 2y + z + 5 = 0\)

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\)qua \(B\) và vuông góc với \(\left( d \right)\) là: \(2x - 2y + z - 6 = 0\)

Khi đó \(C\) là giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(d\), \(D\) là giao điểm của \(\left( Q \right)\) và \(d\).

\(CD = d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{11}}{3}\)

Đường thẳng \(d\) qua \(E\left( {4{m^2}; - 2m; - 2} \right)\) và nhận vecto chỉ phương \(\vec u\left( {2; - 2;1} \right)\)

Đường thẳng AB qua \(A\left( { - 1;2;1} \right)\) và nhận vecto chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 4; - 1} \right)\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa 2 đường thẳng \(\left( d \right)\) và \(\left( {AB} \right),\)khi đó \(\sin \alpha \) là hằng số.

Khoảng cách giữa \(\left( d \right)\) và \(\left( {AB} \right)\) là: \(d\left( {d;AB} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\vec u;\overrightarrow {AB} } \right].\overrightarrow {AE} } \right|}}{{\left| {\left[ {\vec u;\overrightarrow {AB} } \right]} \right|}} = \dfrac{{24{m^2} - 8m + 10}}{{2\sqrt {17} }}\) min tại \(m = \dfrac{1}{6}\)

\({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}d\left( {d;AB} \right).CD.AB.\sin \alpha \) đạt giá trị nhỏ nhất

\( \Leftrightarrow d\left( {d;AB} \right)\min \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{6} \Rightarrow m \in \left( {0;\dfrac{1}{4}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.