Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Trên cạnh AD và CD lầ lượt lấy các điểm M và N sao cho = 450.BM và BN cắt AC theo thứ tự E và F

Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Trên cạnh AD và CD lầ lượt lấy các điểm M và N sao cho $\widehat{MBN}$ = 45⁰.BM và BN cắt AC theo thứ tự E và F

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Chứng minh các tứ giác ABFM, BCNE, MEFN nội tiếp

A. Click để xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:55188

Giải chi tiết

Vì ABCD là hình vuông và $\widehat{MBN}$ = 45⁰(gt)

nên ta có $\widehat{MBF}$ = $\widehat{FAM}$ = 45⁰.

và $\widehat{NBE}$ = $\widehat{NCE}$ = 45⁰.

do đó các tứ giác ABFM và BCNE là các tứ giác nội tiếp (vì đều có 2 đỉnh kề nhau nhìn 2 đỉnh còn lại dưới một góc = 45⁰.)

Mặt khác vì tứ giác ABFM nội tiếp nên $\widehat{BFM}$ + $\widehat{BAM}$ = 180⁰.,

mà $\widehat{BAM}$ = 90⁰. => $\widehat{BFM}$ = 90⁰. => $\widehat{MFN}$ = 90⁰.(1)

Chứng minh tương tự, ta có $\widehat{NEM}$ = 90⁰. (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MEFN nội tiếp đường tròn (đường kính MN)

Vậy các tứ giác ABFM, BCNE, MEFN nội tiếp

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 2:

Gọi H là giao điểm của MF với NE và I là giao điểm của BH với MN. Tính độ dài đoạn BI theo a

A. a

B. 2a

C. 3a

D. 4a

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:55189

Giải chi tiết

Lấy G trên tia đối của tia AD sao cho AG = CN (như hình vẽ)

Kết hợp ABCD là hình vuông ta suy ra ∆ABG = ∆CBN (c.g.c)

=> $\widehat{GBA}$ = $\widehat{CBN}$ (3) và GB = NB (4)

Lại có $\widehat{MBN}$ = 45⁰. (5)

Kếp hợp (3), (5) => $\widehat{GBM}$ = $\widehat{ABM}$ + $\widehat{GBA}$ = 45⁰= $\widehat{MBN}$

Lại kết hợp với (4) và BM là cạnh chung => ∆MBG = ∆MBN (c.g.c)

Mặt khác theo chứng minh ở phần a, ta có NE và MF là hai đường cao của ∆MBN, suy ra BI cũng là đường cao của ∆MBN => BA = BI (hai đường cao tương ứng của hai tam giác bằng nhau)

Vậy BI = BA = a

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 3:

TÌm vị trí của M và N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất

A. Click để xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:55190

Giải chi tiết

Do ∆MBG = ∆MBN (theo chứng minh bài 2) => MG = MN

Do đó MD + DN + MN = MD + DN + MG = MD + DN + (GA + AM)

=MD + DN + CN + AM (vì GA = CN)

= (MD + AM) + (DN + NC) = 2a (không đổi)

Áp dụng định lí pitago cho ∆MDN ( vuông tại D), ta có MN²= DN² + DM²

Mặt khác dễ dàng chứng minh được DN² + DM²≥ $\frac{(DM+DN)^{2}}{2}$ (vì tương đương với (DM - DN)²≥ 0 luôn đúng )

Suy ra MN ≥ $\sqrt{\frac{(DM+DN)^{2}}{2}}$ = $\frac{DM+DN}{\sqrt{2}}$

=> 2a = MD+ DN + MN ≥ MD + DN + $\frac{DM+DN}{\sqrt{2}}$ = $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}$ (MD + DN)

Lại áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có :

2a = MD + DN + MN ≥ $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}$ (MD + DN) ≥ $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}$ 2. $\sqrt{DM.DN}$

= (2 + √2). $\sqrt{DM.DN}$

=> DM.DN ≤ ( $\frac{2a}{2+\sqrt{2}}$ )²= 2(√2 – 1)².a²

=> S_∆MDN= $\frac{1}{2}$ DM.DN ≤ (√2 – 1)².a²

Dấu "=" xảy ra ⇔ $\left\{\begin{matrix} DM=DN\\ MN=\frac{DM+DN}{\sqrt{2}}\\ DM+DN+MN=2a \end{matrix}\right.$ ⇔ DM = DN = (2 - √2)a

Vậy để diện tích tam giác MDN lớn nhất thì M, N lần lượt trên cạnh AD, CD sao cho DM = DN = (2 - √2)a

Đáp án cần chọn là: A

Quảng cáo

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link

VIDEO - LỘ TRÌNH SUN - ÔN LUYỆN ĐGNL, ĐGTD 2026 - 2K8

LIVE - LỘ TRÌNH 5V - ÔN LUYỆN ĐGNL, ĐGTD 2026 - 2K8

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

Lớp 11

Lớp 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

Lớp 9 – Luyện thi vào 10 - 2023

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đường tròn

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Hỗ trợ - Hướng dẫn