Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(1\). Gọi \(\left( T \right)\)

Câu hỏi số 551969:

Vận dụng cao

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(1\). Gọi \(\left( T \right)\) là hình trụ nội tiếp lăng trụ và \(M\) là tâm của mặt bên \(BCC'B'\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(AM\) cắt hình trụ \(\left( T \right)\) như hình vẽ.

Thể tích khối hình còn lại (phần tô đậm) của khối trụ \(\left( T \right)\) là:

A. \(\dfrac{{2\pi \sqrt 3 }}{{27}}\)

B. \(\dfrac{{8\pi }}{{27}}\)

C. \(\dfrac{{8\pi \sqrt 3 }}{{27}}\)

D. \(\dfrac{{4\pi \sqrt 2 }}{9}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:551969

Phương pháp giải

Giả sử \(h = S = 1\)

Tính thể tích của khối lăng trụ.

Gọi thể tích của khối trụ bị cắt bỏ là \({V_1}\) và khối trụ \(\left( T \right)\) là \({V_2}\)

Khi cắt lăng trụ bởi một mặt phẳng thì tỷ lệ thể tích khối trụ nội tiếp và thể tích lăng trụ được bảo toàn.

Giải chi tiết

Giả sử \(h = S = 1\)

Cạnh \(AB = a\), bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là \(r\) và \(p\) là nửa chu vi của tam giác \(ABC\).

Khi đó ta có: \(S = p.r = 1\)

Mà

\(\begin{array}{*{20}{l}}{p = \dfrac{{3a}}{2};S = \sqrt {p{{\left( {p - a} \right)}^3}} = 1}\\{ \Rightarrow p{{\left( {p - a} \right)}^3} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{3a}}{2}{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^3} = 1}\\{ \Leftrightarrow a = \dfrac{2}{{\sqrt[4]{3}}} \Rightarrow p = \sqrt[4]{{27}} \Rightarrow r = \dfrac{1}{{\sqrt[4]{{27}}}}}\\{\dfrac{{{V_{tru}}}}{{{V_{ltru}}}} = \dfrac{{{S_{tron}}}}{{{S_{A'B'C'}}}} = \dfrac{{\pi {r^2}}}{{pr}} = \dfrac{{\pi r}}{p} = \dfrac{{\pi .1}}{{\sqrt {27} }}}\\{ \Rightarrow {V_{tru}} = \dfrac{\pi }{{\sqrt {27} }}}\end{array}\)

Gọi thể tích của khối trụ bị cắt bỏ là \({V_1}\) và khối trụ (T) là \({V_2}\)

Mà thiết diện khi lăng trụ bị cắt là tam giác AEF với E và F lần lượt là trung điểm của BB’ và CC’

Khi đó ta có:

\(\dfrac{{{V_{ABCFE}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \dfrac{{0 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}}}{3} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_1} + {V_2}}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{{V_2}}}{{{V_1} + {V_2}}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow {V_2} = \dfrac{2}{3}.{V_{tru}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{\pi }{{\sqrt {27} }} = \dfrac{{2\pi \sqrt 3 }}{{27}}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.