Cho tam giác nhọn \(ABC\) \(\left( {AB < AC} \right)\)nội tiếp đường tròn tâm \(O.\) Hai tiếp tuyến

Câu hỏi số 552052:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn \(ABC\) \(\left( {AB < AC} \right)\)nội tiếp đường tròn tâm \(O.\) Hai tiếp tuyến tại \(B\)và \(C\) của đường tròn \((O)\) cắt nhau tại \(M\), tia \(AM\) cắt đường tròn \((O)\) tại điểm \(D.\)

a) Chứng minh rằng tứ giác \(OBMC\) nội tiếp được đường tròn.

b) Chứng minh \(M{B^2} = MD.MA\)

c) Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng\(AD;\) tia \(CE\)cắt đường tròn \((O)\)tại điểm \(F.\) Chứng minh rằng: \(BF//AM.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:552052

Phương pháp giải

a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\) là tứ giác nội tiếp

b) Ta sẽ chứng minh: \(\Delta MBD = \Delta MAB\left( {g.g} \right) \Rightarrow M{B^2} = MD.MA\)

b) Ta sẽ chứng minh: \(\angle MEC = \angle BFC\)mà hai góc này ở vị trí đồng vị \( \Rightarrow BF//AM\)(đpcm)

Giải chi tiết

a) Xét \((O)\)có: \(MB,MC\)là các tiếp tuyến của đường tròn \((O)\)nên: \(\angle MBO = {90^0};\angle MCO = {90^0}\)

Xét tứ giác \(OBMC\) có: \(\angle MBO + \angle MCO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc \(\angle MBO,\angle MCO\) ở vị trí đối nhau

\( \Rightarrow OBMC\)là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(OM\)(đpcm).

b) Xét \(\left( O \right)\) có: \(\angle BAM = \angle DBM\) (gọi tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn \(cungBD\))

Xét \(\Delta MBD\) và \(\Delta MAB\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle AMB\,\,\,chung\\\angle BAM = \angle DBM\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta MBD = \Delta MAB\left( {g.g} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{MB}}{{MA}} = \dfrac{{MD}}{{MB}}\\ \Rightarrow M{B^2} = MD.MA\,\,(dpcm)\end{array}\)

c) Xét \(\left( O \right)\) có: \(E\)là trung điểm của \(AD\)nên \(OE \bot AD\) (quan hệ đường kính và dây cung trong đường tròn)

\( \Rightarrow \angle OEM = {90^0}\)

Xét tức giác \(OEMC\) có: \(\angle OEM + \angle OCM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc \(\angle OEM,\angle OCM\) ở vị trí đối nhau

\( \Rightarrow \)Tứ giác \(OEMC\)nội tiếp (dhnb)

\( \Rightarrow \angle CEM = \angle COM\)(cùng chắn \(cungMC\))

Mà \(\angle BOM = \angle COM = \dfrac{1}{2}cungBC\)(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Và \(\angle BFC = \dfrac{1}{2}cungBC\)(tính chất góc nối tiếp)

\( \Rightarrow \angle MEC = \angle BFC\)mà hai góc này ở vị trí đồng vị

\( \Rightarrow BF//AM\)(đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link