Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(2xf'\left( x

Câu hỏi số 552265:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(2xf'\left( x \right) + f\left( x \right) = 3{x^2}\sqrt x \), \(\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\). Biết \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2}\), tính \(f\left( 4 \right)\).

A. 16

B. 4

C. 24

D. 14

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:552265

Phương pháp giải

- Đưa về dạng \(\left( {g\left( x \right).f\left( x \right)} \right)' = u\left( x \right)\).

- Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế, từ đó tìm được \(f\left( x \right)\) rồi tính \(f\left( 4 \right)\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(2xf'\left( x \right) + f\left( x \right) = 3{x^2}\sqrt x ,\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt x .f'\left( x \right) + \dfrac{{f\left( x \right)}}{{2\sqrt x }} = \dfrac{3}{2}{x^2}\\ \Leftrightarrow \left( {\sqrt x f\left( x \right)} \right)' = \dfrac{3}{2}{x^2}\end{array}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được \(\sqrt x f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{2} + C\).

Mặt khác \(f\left( 1 \right) = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} + C \Rightarrow C = 0\). Khi đó \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{2\sqrt x }}\).

Vậy \(f\left( 4 \right) = 16\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.