Trong hình chữ nhật có kích thước \(1 \times 2\) ta lấy \(6{n^2} + 1\) điểm với \(n\) là số nguyên

Câu hỏi số 552601:

Vận dụng cao

Trong hình chữ nhật có kích thước \(1 \times 2\) ta lấy \(6{n^2} + 1\) điểm với \(n\) là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính \(\dfrac{1}{n}\) chứa không ít hơn \(4\) trong số các điểm đã cho.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:552601

Phương pháp giải

+ Nguyên lý Dirichlet cơ bản : Nếu nhốt \(n + 1\) con thỏ vào \(n\) cái chuồng thì bao giờ cũng có một cái chuồng chứa ít nhất hai con thỏ.

+ Số thỏ : \(6{n^2} + 1\) thỏ ; Số lồng là : \(2{n^2}\) lồng

Giải chi tiết

Chia các cạnh của hình chữ nhật thành \(n\) đoạn và \(2n\) đoạn bằng nhua, mỗi đoạn dài \(\dfrac{1}{n}\)

Nối các điểm chia bằng các đường thẳng song song với cạnh của hình chữ nhật. Ta được \(n.2n = 2{n^2}\) hình vuông nhỏ cạnh là \(\dfrac{1}{n}\).

(\(6{n^2} + 1\) thỏ ; \(2{n^2}\) lồng)

Giả sử mỗi hình vuông chứa không quá \(3\) điểm.

\( \Rightarrow \) Tồng số điểm : \(2{n^2}.3 = 6{n^2}\) (điểm)

(Trái với giả thiết – có \(6{n^2} + 1\) điểm)

Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại một hình vuông chứa ít nhất là \(4\) điểm.

Hình vuông có cạnh \(\dfrac{1}{n}\) có bán kính đường tròn ngoại tiếp là \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{{2n}} < \dfrac{1}{n}\). Nên đường tròn này nằm trong đường tròn đồng tâm bán kính \(\dfrac{1}{n}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link