Tìm hệ số của \({x^8}\) trong khai triển thành đa thức của \({\left( {3 - 2x} \right)^{2n}}\),

Câu hỏi số 552878:

Vận dụng

Tìm hệ số của \({x^8}\)trong khai triển thành đa thức của \({\left( {3 - 2x} \right)^{2n}}\), biết n là số nguyên dương thỏa mãn \(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n} = 1024\).

A. \( - 103680\)

B. \(103680\)

C. \(130260\)

D. \( - 130260\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:552878

Phương pháp giải

+ Áp dụng khai triển Newton để tìm n dựa vào điều kiện

+ Thay n vào đa thức ban đầu, áp dụng công thức số hạng tổng quát của khai triển Newton để tìm hệ số theo yêu cầu đề bài.

Giải chi tiết

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {1 + x} \right)^{2n + 1}}\)_. Theo công thức khai triển nhị thức Newton:

\(f\left( x \right) = {\left( {1 + x} \right)^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x + C_{2n + 1}^2{x^2} + ... + C_{2n + 1}^{2n}{x^{2n}} + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}\)

Từ đó ta có:

\(f(1) = {2^{2n + 1}} = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + ... + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n + 1}\quad (1)\)

\(f( - 1) = 0 = C_{2n + 1}^0 - C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 - ... + C_{2n + 1}^{2n} - C_{2n + 1}^{2n + 1}\quad \;\,\,(2)\quad \)

Cộng từng vế của (1) và (2) ta có: \({2^{2n + 1}} = 2\left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n}} \right)\,\,\left( 3 \right)\)

Từ (3) và giả thiết suy ra \({2^{2n + 1}} = 2.1024 \Leftrightarrow {2^{2n + 1}} = {2^{11}} \Leftrightarrow n = 5\).

Bài toán trở thành tìm hệ số của \({x^8}\)trong khai triển thành đa thức của \({\left( {3 - 2x} \right)^{10}}\).

Ta có \({(3 - 2x)^{10}} = \mathop \Sigma \limits_{k = 0}^{10} C_{10}^k{.3^{10 - k}}.{( - 2x)^k} = \mathop \Sigma \limits_{k = 0}^{10} C_{10}^k{.3^{10 - k}}.{( - 2)^k}.{x^k}\)

Do đó hệ số của \({x^8}\) ứng với \(k = 8\) là \(C_{10}^8{.3^{10 - 8}}.{( - 2)^8} = 103680\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.