Nếu \(\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)\sin xdx} = 20\,\,\,;\,\,\,\,\int\limits_0^\pi

Câu hỏi số 553153:

Vận dụng

Nếu \(\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)\sin xdx} = 20\,\,\,;\,\,\,\,\int\limits_0^\pi {x.f'\left( x \right)\sin xdx} = 5\) thì \(\int\limits_0^{{\pi ^2}} {f\left( {\sqrt x } \right)\cos \left( {\sqrt x } \right)dx} \) bằng?

A. \( - 50\)

B. \( - 30\)

C. \(15\)

D. \(25\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:553153

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Đặt \(\sqrt x = t \Rightarrow x = {t^2} \Rightarrow dx = 2tdt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = {\pi ^2} \Rightarrow t = \pi \end{array} \right.\)

Khi đó: \(I = \int\limits_0^\pi {f\left( t \right)\cos t2tdt} = 2\int\limits_0^\pi {t.f\left( t \right)\cos tdt} = 2\int\limits_0^\pi {x.f\left( x \right)\cos xdx} \)

Xét \(\int\limits_0^\pi {x.f'\left( x \right)\sin xdx} = 5\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\sin x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( {\sin x + x\cos x} \right)dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\)

Khi đó: \(\int\limits_0^\pi {x.f'\left( x \right)\sin xdx} = 5 \Leftrightarrow \left. {x\sin x.f\left( x \right)} \right|_0^\pi - \int\limits_0^\pi {f\left( x \right).\left( {\sin x + x\cos x} \right)dx} = 5\)

\( \Leftrightarrow \int\limits_0^\pi {f\left( x \right).\left( {\sin x + x\cos x} \right)dx} = - 5 \Leftrightarrow \int\limits_0^\pi {f\left( x \right)\sin xdx} + \int\limits_0^\pi {x.f\left( x \right)\cos xdx} = - 5\)

\( \Leftrightarrow 20 + \dfrac{I}{2} = - 5 \Leftrightarrow \dfrac{I}{2} = - 25 \Leftrightarrow I = - 50\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.