Biết \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{\left( {{x^2} + 5x + 6} \right){e^x}}}{{x + 2 + {e^{ - x}}}}dx} = ae - b -

Câu hỏi số 553154:

Vận dụng

Biết \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{\left( {{x^2} + 5x + 6} \right){e^x}}}{{x + 2 + {e^{ - x}}}}dx} = ae - b - \ln \dfrac{{ae + c}}{3}\) với \(a,b,c\) là các số nguyên, \(e\) là cơ số của lôgarit tự nhiên. Tính \(S = 2a + b + c\)?

A. \(S = 10\)

B. \(S = 9\)

C. \(S = 5\)

D. \(S = 6\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:553154

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có: \(I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{\left( {{x^2} + 5x + 6} \right){e^{2x}}}}{{\left( {x + 2} \right){e^x} + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right){e^{2x}}}}{{\left( {x + 2} \right){e^x} + 1}}dx} \)

Đặt \(\left( {x + 2} \right){e^x} = t \Rightarrow \left[ {\left( {x + 2} \right){e^x} + {e^x}} \right]dx = dt\) \( \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right){e^x}dx = dt\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 2\\x = 1 \Rightarrow t = 3e\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\dfrac{{\left( {x + 2} \right){e^x}\left( {x + 3} \right){e^x}dx}}{{\left( {x + 2} \right){e^x} + 1}}} = \int\limits_2^{3e} {\dfrac{{tdt}}{{t + 1}}} = \int\limits_2^{3e} {\left( {1 - \dfrac{1}{{t + 1}}} \right)dt} = \left. {\left( {t - \ln \left| {t + 1} \right|} \right)} \right|_2^{3e}\)

\( = \left[ {3e - \ln \left( {3e + 1} \right)} \right] - \left( {2 - \ln 3} \right) = 3e - 2 - \ln \dfrac{{3e + 1}}{3}\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 2\\c = 1\end{array} \right.\,\, \Rightarrow S = 2a + b + c = 2.3 + 2 + 1 = 9\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.