Cho Parabol là đồ thị hàm số \(y = - \dfrac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(d\) là đồ thị

Câu hỏi số 553179:

Thông hiểu

Cho Parabol là đồ thị hàm số \(y = - \dfrac{1}{2}{x^2}\) và đường thẳng \(d\) là đồ thị hàm số \(y = mx + m - 1\) (với \(m\) là tham số).

a) Vẽ Parabol là đồ thị hàm số \(y = - \dfrac{1}{2}{x^2}\).

b) Chứng minh Parabol luôn cắt đường thẳng \(d\) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số \(m\).

Xem lời giải

Câu hỏi:553179

Phương pháp giải

a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right)\)

+ Nhận xét về hệ số \(a\) và sự biến thiên của hàm số

+ Lập bảng giá trị tương ứng của \(x\) và \(y\)

+ Xác định được các điểm mà đồ thị đi qua, vẽ đồ thị.

b) Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\) \( \Leftrightarrow \Delta > 0,\forall m\) (hoặc \(\Delta ' > 0,\forall m\)

Giải chi tiết

a) Parabol \(\left( P \right):y = - \dfrac{1}{2}{x^2}\) có \(a = - \dfrac{1}{2} < 0\) nên có bề lõm hướng xuống và nhận \(Oy\) làm trục đối xứng.

Ta có bảng giá trị sau:

Parabol \(\left( P \right):y = - \dfrac{1}{2}{x^2}\) là đường cong đi qua các điểm \(\left( { - 2; - 2} \right),\left( { - 1;\dfrac{{ - 1}}{2}} \right),\left( {0;0} \right),\left( {1;\dfrac{{ - 1}}{2}} \right),\left( {2; - 2} \right)\)

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\), ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\, - \dfrac{1}{2}{x^2} = mx + m - 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{x^2} + mx + m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2mx + 2m - 2 = 0{\rm{ }}\left( 1 \right)\end{array}\)

Ta có: \(\Delta ' = {m^2} - 2m + 2 = {(m - 1)^2} + 1\)

Vì \({\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0,\forall m \Rightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} + 1 > 0,\forall m\)

Do đó, \(\Delta ' > 0,\forall m\)

\( \Rightarrow \) phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

Vậy parabol \(\left( P \right)\) luôn cắt đường thẳng \(d\) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số \(m\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.