Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Mặt phẳng
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC. Tính diện tích S của thiết diện tạo bởi \(\left( \alpha \right)\) với hình chóp đã cho.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Trong (SAI) kẻ \(AH \bot SI\), trong (SBC) kẻ MN qua H sao cho MN // BC, chứng minh thiết diện là tam giác AMN.
- Chứng minh AH vuông góc với MN \( \Rightarrow {S_{AMN}} = \dfrac{1}{2}AH.MN\).
- Sử dụng HTL trong tam giác vuông tính AH, tính tỉ số \(\dfrac{{AH}}{{AI}}\), từ đó tính MN.
Dễ thấy \(\Delta SAB = \Delta SAC\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow SB = SC\) => Tam giác SBC cân tại S.
Lại có SI là trung tuyến của tam giác SBC nên \(SI \bot BC\).
Trong (SAI) kẻ \(AH \bot SI\), trong (SBC) kẻ MN qua H sao cho MN // BC, khi đó \(MN \bot SI\).
\( \Rightarrow \left( \alpha \right) \equiv \left( {AMN} \right)\), cắt hình chóp theo thiết diện là tam giác AMN.
Tam giác ABC đều cạnh a nên \(AI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SAI:
\(AH = \dfrac{{SA.AI}}{{\sqrt {S{A^2} + A{I^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).
\(\dfrac{{SH}}{{SI}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{I^2}}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{I^2}}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}}} = \dfrac{4}{7}\), lại có MN // BC nên \(\dfrac{{SH}}{{SI}} = \dfrac{{MN}}{{BC}} = \dfrac{4}{7} \Rightarrow MN = \dfrac{{4a}}{7}\) (định lí Ta-lét).
Ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot MN\end{array}\)
Vậy \({S_{AMN}} = \dfrac{1}{2}AH.MN = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}.\dfrac{4}{7} = \dfrac{{2{a^2}\sqrt {21} }}{{49}}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
