Cho \(a,b,c\) là các số thực thuộc đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mãn \(\log _2^3a + \log _2^3b +

Câu hỏi số 555759:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là các số thực thuộc đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) thỏa mãn \(\log _2^3a + \log _2^3b + \log _2^3x \le 1.\) Khi biểu thức \(P = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3\left( {{{\log }_2}{a^a} + {{\log }_2}{b^b} + {{\log }_2}{c^c}} \right)\) đạt giá trị lớn nhất thì tổng \(a + b + c\) là

A. 3

B. \({3.2^{\dfrac{1}{{\sqrt[3]{3}}}}}\)

C. 4

D. 6

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555759

Phương pháp giải

Ta sử dụng Bổ đề: Cho \(a \ge b \ge c\) là các số thực không âm và \(P\left( {a;b;c} \right)\) là hàm đối xứng theo các biến \(a,b,c.\)

Giả sử \(f\left( x \right)\) là hàm sao cho \(f'\left( x \right)\) là một hàm lồi

(tức là \(f'''\left( x \right) > 0\) thì hàm số \(P\left( {a;b;c} \right) = f\left( a \right) + f\left( b \right) + f\left( c \right)\) đạt giá trị lớn nhất (nếu có) tại \(a \ge b = c\)).

Giải chi tiết

Áp dụng vào bài toán của chúng ta. Đặt \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x{\log _2}x,x \in \left[ {1;2} \right]\)

Khi đó ta có: \(h\left( x \right) = f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3{\log _2}x - \dfrac{3}{{\ln 2}}\)

Ta tính được \(h'\left( x \right) = 6x - \dfrac{3}{{x{{\left( {\ln 2} \right)}^2}}};h''\left( x \right) = 6x + \dfrac{3}{{{x^2}{{\left( {\ln 2} \right)}^2}}} > 0\forall x \in \left[ {1;2} \right]\)

Do đó hàm \(h\left( x \right) = f'\left( x \right)\) là hàm lồi. Ta lại có:

\(P\left( {a;b;c} \right) = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3\left( {{{\log }_2}{a^a} + {{\log }_2}{b^b} + {{\log }_2}{c^c}} \right)\)

\( = {a^3} + {b^3} + {c^3} - 3\left( {a{{\log }_2}a + b{{\log }_2}b + c{{\log }_2}c} \right) = f\left( a \right) + f\left( b \right) + f\left( c \right)\)

Áp dụng bổ đề trên ta suy ra \(P\left( {a;b;c} \right)\)đạt GTLN tại \(a \ge b = c\)

Khi đó \(P\left( {a;b;b} \right) = {a^3} + 2{b^3} - 3\left( {a{{\log }_2}a + 2b{{\log }_2}b} \right)\left( 1 \right)\)

Giả sử \(a + 2b = \alpha ;3 \le \alpha \le 6\)

Khi đó \(a = \alpha - 2b\) thay vào biểu thức (1) ta được:

\(P\left( {a;b;b} \right) = {\left( {\alpha - 2b} \right)^3} + 2{b^3} - 3\left( {\left( {\alpha - 2b} \right){{\log }_2}a\left( {\alpha - 2b} \right) + b{{\log }_2}b} \right)\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {\left( {\alpha - 2x} \right)^3} + 2{x^3} - 3\left( {\left( {\alpha - 2x} \right){{\log }_2}\left( {\alpha - 2x} \right) + b{{\log }_2}x} \right),x \in \left[ {1;2} \right]\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = - 6\left( {3{x^2} - 4a\alpha + {\alpha ^2}} \right) + 6{\log _2}\dfrac{{\alpha - 2x}}{x}\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 4x\alpha + {\alpha ^2} = {\log _2}\dfrac{{\alpha - 2x}}{x} = {\log _2}\left( {\dfrac{\alpha }{x} - 2} \right)\left( 2 \right)\)

Do \(\alpha \ge 3,x \in \left[ {1;2} \right]\) nên hàm số ở vế trái và vế phải của (2) đều là các hàm số nghịch biến.

Mặt khác ta lại có \(x = \alpha \) là một nghiệm của (2) do đó (2) có nghiệm duy nhất \(x = \alpha \)trên R.

Do \(x \in \left[ {1;2} \right],\alpha \ge 3\) nên (2) vô nghiệm

Lại có: \(g'\left( 1 \right) = - 6\left( {3 - 4\alpha + {\alpha ^2}} \right) + 6{\log _2}\left( {\alpha - 2} \right)\)

Đặt \(p\left( x \right) = - {x^2} + 4x - 3 + {\log _2}\left( {x - 2} \right);3 \le x \le 6\)

Khi đó \(p'\left( x \right) = - 2x + 4 + \dfrac{1}{{\left( {x - 2} \right)\ln 2}} = - \left[ {\dfrac{{2{{\left( {x - 2} \right)}^2}\ln 2 - 1}}{{\left( {x - 2} \right)\ln 2}}} \right] < 0,3 \le x \le 6\)

Do đó \(p\left( x \right)\) là hàm nghịch biến trên [3;6]

Từ đó \(p\left( 6 \right) \le p\left( x \right) \le p\left( 3 \right) \Rightarrow p\left( x \right) \le 0 \Rightarrow g'\left( 1 \right) \le 0\)

Điều này kéo theo \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên [1;2] do đó \(g\left( 2 \right) \le g\left( x \right) \le g\left( 1 \right)\)

Vì vậy \(g\left( x \right)\)đạt GTLN tại \(x = 1\)

Khi đó \(b = c = 1.\) Thay vào \(P\left( {a;b;b} \right)\) ta có: \(P\left( {a;1;1} \right) = {a^3} + 2 - 3a{\log _2}a,a \in \left[ {1;2} \right]\)

Ta có: \(P\left( {a;1;1} \right) = f\left( a \right) + 2\)

Theo tính toán ở trên ta có \(f'''\left( x \right) = 6x - \dfrac{3}{{x{{\left( {\ln 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{6\left[ {{x^2} - \dfrac{1}{{2{{\left( {\ln 2} \right)}^2}}}} \right]}}{x} > 0\forall x \in \left[ {1;2} \right]\)

Vậy f’ là hàm đồng biến\( \Rightarrow f'\left( 1 \right) \le f'\left( x \right) \le f'\left( 2 \right) \Rightarrow 0 < 3 - \dfrac{3}{{\ln 2}} \le f'\left( x \right)\)

Do đó \(f\left( x \right)\) là hàm đồng biến trên [1;2]

Vậy \(f\left( x \right) \le f\left( 2 \right)\)

Kéo theo \(f\left( a \right)\) đạt GTLN tại \(a = 2.\) Hay \(P\left( {a;1;1} \right)\) đạt GTLN tại \(a = 2.\)

Khi đó \(a + b + c = 4\)

Kiểm tra lại với \(a = 2,b = c = 1\) thỏa mãn điều kiện \(\log _2^3a + \log _2^3b + \log _2^3c = 1\) .

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.