Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{{5\pi }}{4}}

Câu hỏi số 555770:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right]\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2}} \right\}\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \tan x,\) \(\forall x \in \left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right)\backslash \left\{ {\dfrac{\pi }{2}} \right\}\), \(f\left( 0 \right) = 0,f\left( \pi \right) = 1.\) Tỷ số giữa \(f\left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\) và \(f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)\) là

A. \(2\left( {{{\log }_2}e + 1} \right)\)

B. 2

C. \(\dfrac{{2\left( {1 + \ln 2} \right)}}{{2 + \ln 2}}\)

D. \(2\left( {1 - {{\log }_2}e} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555770

Phương pháp giải

Tìm \(f\left( x \right) = \int {\tan xdx} \).

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) = \int {\tan xdx} = \int {\dfrac{{\sin xdx}}{{\cos x}}} = - \int {\dfrac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{\cos x}}} = - \ln \left| {\cos x} \right| + C\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = - \ln \left( {\cos x} \right) + {C_1}\,\,\,\,\,khi\,\,x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)\\f\left( x \right) = - \ln \left( { - \cos x} \right) + {C_2}\,\,khi\,\,x \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right]\end{array} \right.\)

Mà \(f\left( 0 \right) = 0,f\left( \pi \right) = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \ln 1 + {C_1} = 0\\ - \ln 1 + {C_2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{C_1} = 0\\{C_2} = 1\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = - \ln \left( {\cos x} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \in \left[ { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{2}} \right)\\f\left( x \right) = - \ln \left( { - \cos x} \right) + 1\,\,\,\,khi\,\,x \in \left( {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{5\pi }}{4}} \right]\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = - \ln \left( {\cos \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = - \dfrac{1}{2}\ln 2 + \ln 2 = \dfrac{1}{2}\ln 2\\f\left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = - \ln \left| {\cos \dfrac{{2\pi }}{3}} \right| + 1 = - \ln \dfrac{1}{2} + 1 = \ln 2 + 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{{f\left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right)}}{{f\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right)}} = \dfrac{{2\left( {\ln 2 + 1} \right)}}{{\ln 2}} = 2\left( {1 + {{\log }_2}e} \right)\end{array}\)

Chọn A

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.