Cho \(a\) là số thực, phương trình \({z^2} + \left( {a - 2} \right)z + 2a - 3 = 0\) có hai nghiệm

Câu hỏi số 555799:

Thông hiểu

Cho \(a\) là số thực, phương trình \({z^2} + \left( {a - 2} \right)z + 2a - 3 = 0\) có hai nghiệm \({z_1},{z_2}\). Gọi \(M,N\) là điểm biểu diễn của \({z_1};{z_2}\) trên mặt phẳng tọa độ. Biết \(\Delta OMN\) có một góc bằng \({120^0}\), tính tổng các giá trị của \(a\)?

A. \( - 6\)

B. \(6\)

C. \( - 4\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555799

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Nhận xét: Nếu \({z_1},{z_2}\) là số thực \( \Rightarrow M,N \in Ox\)

\( \Rightarrow O,M,N\) thẳng hàng \( \Rightarrow \) loại

\( \Rightarrow {z_1};{z_2}\) là hai số phức chứa \(i\) và là hai số phức liên hợp của nhau

Mà \(M;N \notin Oy \Rightarrow {z_1};{z_2}\) không phải là hai số thuần ảo

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {a - 2} \right)^2} - 4\left( {2a - 3} \right) < 0\\{z_1} + {z_2} \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 12a + 16 < 0\\2 - a \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 - 2\sqrt 5 < a < 6 + 2\sqrt 5 \\a \ne 2\end{array} \right.\)

Do \(M,N\) đối xứng với \(Ox \Rightarrow \Delta OMN\) cân tại \(O \Rightarrow \angle MON = {120^0}\)

\( \Rightarrow \angle MOH = {60^0}\) (\(H\) là trung điểm của \(MN\))

Xét \(\Delta ONH\) có \(\left\{ \begin{array}{l}MH = \dfrac{1}{2}MN = \dfrac{1}{2}\left| {{z_1} - {z_2}} \right|\\OM = \left| {{z_1}} \right|\end{array} \right.\)

Theo Vi-et \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 2 - a\\{z_1}.{z_2} = 2a - 3\end{array} \right.\)

Từ \({z_1}.{z_2} = 2a - 3 \Leftrightarrow {z_1}.\overline {{z_1}} = 2a - 3 \Leftrightarrow {\left| {{z_1}} \right|^2} = 2a - 3 \Leftrightarrow \left| {{z_1}} \right| = \sqrt {2a - 3} \)

Mà \({\left( {{z_1} - {z_2}} \right)^2} = {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 4{z_1}{z_2} \Leftrightarrow {\left( {{z_1} - {z_2}} \right)^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} - 4\left( {2a - 3} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{z_1} - {z_2}} \right)^2} = {a^2} - 12a + 16 \Leftrightarrow {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = \left| {{a^2} - 12a + 16} \right|\)

\( \Leftrightarrow {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = - \left( {{a^2} - 12a + 16} \right) \Leftrightarrow \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt { - \left( {{a^2} - 12a + 16} \right)} \)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MH = \dfrac{1}{2}\sqrt { - \left( {{a^2} - 12a + 16} \right)} \\OM = \sqrt {2a - 3} \end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \sin MOH = \dfrac{{MH}}{{OM}} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}\sqrt { - \left( {{a^2} - 12a + 16} \right)} }}{{\sqrt {2a - 3} }}\)

\( \Leftrightarrow 3 = \dfrac{{ - \left( {{a^2} - 12a + 16} \right)}}{{2a - 3}} \Leftrightarrow {a^2} - 6a + 7 = 0 \Leftrightarrow a = 3 \pm \sqrt 2 \) (tmđk)

\( \Rightarrow \sum a = \left( {3 + \sqrt 2 } \right) + \left( {3 - \sqrt 2 } \right) = 6\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.