Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\), \(B\left( {0;10} \right)\), \(C\left( {1;0; -

Câu hỏi số 555918:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\), \(B\left( {0;10} \right)\), \(C\left( {1;0; - 2} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z + 2 = 0\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) nằm trên mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho biểu thức \(M{A^2} + 2M{B^2} + 3M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, giá trị của biểu thức \(T = a - b + 9c\) bằng

A. \(\dfrac{{13}}{9}\)

B. \( - \dfrac{{13}}{9}\)

C. 13

D. -13

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555918

Phương pháp giải

Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(\alpha \overrightarrow {IA} + \beta \overrightarrow {IB} + \gamma \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \). Khi đó:

\(\alpha M{A^2} + \beta M{B^2} + \gamma M{C^2} = \left( {\alpha + \beta + \gamma } \right)M{I^2} + \alpha I{A^2} + \beta I{B^2} + \gamma I{C^2}\)

Rõ ràng \(\alpha I{A^2} + \beta I{B^2} + \gamma I{C^2}\) không đổi nên \(\alpha M{A^2} + \beta M{B^2} + \gamma M{C^2}\) khi và chỉ khi \(\left( {\alpha + \beta + \gamma } \right)M{I^2}\) nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \). Khi đó:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 - x + 2\left( {0 - x} \right) + 3\left( {1 - x} \right) = 0\\2 - y + 2\left( {1 - y} \right) + 3\left( {0 - y} \right) = 0\\3 - z + 2\left( {0 - z} \right) + 3\left( { - 2 - z} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3}\\y = \dfrac{2}{3}\\z = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}; - \dfrac{1}{2}} \right)\)

Ta có: \(H = M{A^2} + 2M{B^2} + 3M{C^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow H = 6M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2} + 3I{C^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} } \right)\\ \Rightarrow H = 6M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2} + 3I{C^2}\end{array}\)

Do \(I,\,\,A,\,\,B,\,\,C\) cố định nên \(I{A^2} + 2I{B^2} + 3I{C^2}\) không đổi.

Suy ra \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi \(MI\) đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(\left( P \right)\).

Đường thẳng \(d\) đi qua \(I\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}; - \dfrac{1}{2}} \right)\) vuông góc với \(\left( P \right)\) có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3} + t\\y = \dfrac{2}{3} + t\\z = - \dfrac{1}{2} + t\end{array} \right.\).

Vì \(M \in d \Rightarrow M\left( {\dfrac{2}{3} + t;\,\,\dfrac{2}{3} + t;\,\, - \dfrac{1}{2} + t} \right)\).

Mà \(M \in \left( P \right)\)\( \Rightarrow \dfrac{2}{3} + t + \dfrac{2}{3} + t - \dfrac{1}{2} + t + 2 = 0 \Rightarrow t = - \dfrac{{17}}{{18}} \Rightarrow M\left( { - \dfrac{5}{{18}}; - \dfrac{5}{{18}}; - \dfrac{{13}}{9}} \right)\)

Vậy \(a = b = - \dfrac{5}{{18}},\,\,c = \dfrac{{ - 13}}{9}\) nên \(T = a + b - 9c = - 13\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.