Cho ba số thực \(x,\,\,y,\,\,z\) không âm thỏa mãn \({2^x} + {4^y} + {8^z} = 4\). Gọi \(M,\,\,N\) lần

Câu hỏi số 555919:

Vận dụng cao

Cho ba số thực \(x,\,\,y,\,\,z\) không âm thỏa mãn \({2^x} + {4^y} + {8^z} = 4\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{2}\). Đặt \(T = 2M + 6N\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(T \in \left( {1;2} \right)\)

B. \(T \in \left( {2;3} \right)\)

C. \(T \in \left( {3;4} \right)\)

D. \(T \in \left( {4;5} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:555919

Phương pháp giải

- Tìm GTLN: Đặt \(a = {2^x},\,\,b = {2^{2y}},\,\,c = {2^{3z}}\,\,\left( {1 \le a \le b \le c} \right)\)

Dựa vào giả thiết tìm được khoảng giá trị của \(a,\,\,b,\,\,c\).

Dồn biến biểu thức cần tìm GTLN về 1 biến.

Khảo sát giá trị biểu thức trên khoảng xác định tìm được GTLN.

- Tìm GTNN: Biến đổi giả thiết về dạng \({2^x} + {2^{2y}} + {2^{3z}}\), dùng BĐT Cauchy \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\) với \(a,\,\,b,\,\,c > 0\).

Giải chi tiết

Ta có: \({2^x} + {4^y} + {8^z} = 4 \Leftrightarrow {2^x} + {2^{2y}} + {2^{3z}} = 4\).

Lại có: \(S = \dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{2} \Rightarrow 6S = x + 2y + 3z \Rightarrow {2^{6S}} = {2^{x + 2y + 3z}} = {2^x}{.2^{2y}}{.2^{3z}}\).

Áp dụng BĐT Cauchy ta được: \({2^{6S}} = {2^x}{.2^{2y}}{.2^{3z}} \le {\left( {\dfrac{{{2^x} + {2^{2y}} + {2^{3z}}}}{3}} \right)^3} = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^3} = \dfrac{{64}}{{27}}\).

\( \Rightarrow S \le \dfrac{{{{\log }_2}\dfrac{{64}}{{27}}}}{6} = M\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \({2^x} = {2^{2y}} = {2^{3z}} = \dfrac{4}{3}\).

Đặt \(a = {2^x},\,\,b = {2^{2y}},\,\,c = {2^{3z}}\,\,\left( {1 \le a \le b \le c} \right)\). Khi đó \({2^{6S}} = abc\).

Mà \(a + b + c = 4\) nên \(1 \le a \le b \le c \le 2\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}0 \le \left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right) = ab - \left( {a + b} \right) + 1\\ \Leftrightarrow ab \ge a + b - 1 = 3 - c\\ \Leftrightarrow abc \ge \left( {3 - c} \right)c\end{array}\)

Khảo sát hàm số \(f\left( c \right) = \left( {3 - c} \right)c\) trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) ta được \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( c \right) = f\left( 1 \right) = f\left( 2 \right) = 2\).

Suy ra \({2^{6S}} = abc \ge f\left( c \right) \ge 2 \Rightarrow S \ge \dfrac{1}{6} = m\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(c = 2,\,\,a = b = 1\) hoặc và các hoán vị.

Vậy \(T = 2M + 6N = 2.\dfrac{{{{\log }_2}\dfrac{{64}}{{27}}}}{6} + 6.\dfrac{1}{6} \approx 1,415 \in \left( {1;2} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.