Cho \(a,b,c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} + \dfrac{1}{{{b^3}

Câu hỏi số 556087:

Vận dụng

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} + \dfrac{1}{{{b^3} + {c^3} + abc}} + \dfrac{1}{{{a^3} + {c^3} + abc}} \le \dfrac{1}{{abc}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556087

Phương pháp giải

+ Bất đẳng thức Cô – si: Cho \({x_1};{x_2};...;{x_n}\) là các số thực dương, ta có:

\({x_1} + {x_2} + ... + {x_n} \ge n\sqrt[n]{{{x_1}.{x_2}...{x_n}}}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \({x_1} = {x_2} = ... = {x_n}\)

Giải chi tiết

Ta có: \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,\forall a,b\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - ab + {b^2} \ge ab\\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) \ge ab\left( {a + b} \right)\,\,\,\left( {do\,\,\,a,b > 0 \Rightarrow a + b > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} \ge ab\left( {a + b} \right)\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

+ \({a^3} + {a^3} + {b^3} \ge 3\sqrt[3]{{{a^3}.{a^3}.{b^3}}} = 3\sqrt[3]{{{a^{3 + 3}}.{b^2}}} = 3\sqrt[3]{{{a^{2.3}}.{b^3}}} = 3\sqrt[3]{{{{\left( {{a^2}b} \right)}^3}}} = 3{a^2}b\)

+ \({a^3} + {b^3} + {b^3} \ge 3\sqrt[3]{{{a^3}.{b^3}.{b^3}}} = 3a{b^2}\)

Cộng hai vế của bất đẳng thức trên ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,3{a^3} + 3{b^3} \ge 3{a^2}b + 3a{b^2}\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} \ge {a^2}b + a{b^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {a^3} + {b^3} + abc \ge {a^2}b + a{b^2} + abc\\ \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} + abc \ge ab\left( {a + b + c} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} \le \dfrac{1}{{ab\left( {a + b + c} \right)}} = \dfrac{c}{{abc\left( {a + b + c} \right)}}\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\dfrac{1}{{{b^3} + {c^3} + abc}} \le \dfrac{a}{{abc\left( {a + b + c} \right)}}\) và \(\dfrac{1}{{{a^3} + {c^3} + abc}} \le \dfrac{b}{{abc\left( {a + b + c} \right)}}\)

Cộng các bất đẳng thức vừa chứng minh, ta được :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} + \dfrac{1}{{{b^3} + {c^3} + abc}} + \dfrac{1}{{{a^3} + {c^3} + abc}} \le \dfrac{a}{{abc\left( {a + b + c} \right)}} + \dfrac{b}{{abc\left( {a + b + c} \right)}} + \dfrac{c}{{abc\left( {a + b + c} \right)}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{a^3} + {b^3} + abc}} + \dfrac{1}{{{b^3} + {c^3} + abc}} + \dfrac{1}{{{a^3} + {c^3} + abc}} \le \dfrac{1}{{abc}}\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link