Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn f(0) = 1 và \(3f'\left( x

Câu hỏi số 556387:

Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn f(0) = 1 và \(3f'\left( x \right).{f^2}\left( x \right){e^{{f^3}\left( x \right) - {x^2} - 1}} = 2x,\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = f\left( {{x^3} - 3{x^2} - m} \right)\) có đúng 5 điểm cực trị?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 1

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:556387

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế.

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,3f'\left( x \right).{f^2}\left( x \right){e^{{f^3}\left( x \right) - {x^2} - 1}} = 2x\\ \Leftrightarrow 3f'\left( x \right).{f^2}\left( x \right){e^{{f^3}\left( x \right)}} = 2x.{e^{{x^2} + 1}}\\ \Leftrightarrow \left[ {{f^3}\left( x \right)} \right]'.{e^{{f^3}\left( x \right)}} = \left( {{x^2} + 1} \right)'.{e^{{x^2} + 1}}\end{array}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\int {\left[ {{f^3}\left( x \right)} \right]'.{e^{{f^3}\left( x \right)}}dx} = \int {\left( {{x^2} + 1} \right)'.{e^{{x^2} + 1}}dx} \\ \Leftrightarrow \int {{e^{{f^3}\left( x \right)}}d\left[ {{f^3}\left( x \right)} \right]} = \int {{e^{{x^2} + 1}}d\left[ {\left( {{x^2} + 1} \right)} \right]} \\ \Leftrightarrow {e^{{f^3}\left( x \right)}} = {e^{{x^2} + 1}} + C\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Lại có \(f\left( 0 \right) = 1\) nên thay x = 0 vào (*) ta có: \({e^{{f^3}\left( 0 \right)}} = e + C \Leftrightarrow e = c + C \Leftrightarrow C = 0\).

Do đó \({e^{{f^3}\left( x \right)}} = {e^{{x^2} + 1}} \Leftrightarrow {f^3}\left( x \right) = {x^2} + 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^2} + 1}}\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{3}2x.{\left( {{x^2} + 1} \right)^{ - \frac{2}{3}}} = \dfrac{{2x}}{{3\sqrt[3]{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}}}\).

Cho \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

\( \Rightarrow y' = \left( {3{x^2} - 6x} \right)f'\left( {{x^3} - 3{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\\{x^3} - 3{x^2} - m = 0\,\,\left( {**} \right)\end{array} \right.\)

Để hàm số có đúng 5 điểm cực trị thì phương trình (**) phải có 3 nghiệm phân biệt khác 0 và 2.

Suy ra đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\) tại 3 điểm phân biệt có hoành độ khác 0 và 2.

Ta có \(g'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

BBT:

Dựa vào BBT \( \Rightarrow - 4 < m < 0\).

Mà m là số nguyên nên \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1} \right\}\). Vậy có 3 giá trị thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.