Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho z không phải là số thực và số phức \(w =
Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho z không phải là số thực và số phức \(w = \dfrac{z}{{2 + {z^2}}}\) là số thực. Xét các số phức \({z_1},\,\,{z_2} \in S\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = {\left| {{z_1} - 3i} \right|^2} + {\left| {{z_2} - 3i} \right|^2}\) bằng:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Vì z không là số thực nên \(z - \overline z \ne 0\).
Ta có: \(w = \dfrac{z}{{2 + {z^2}}} \Rightarrow \overline w = \dfrac{{\overline z }}{{2 + {{\overline z }^2}}}\).
Vì w là số thực nên \(w = \overline w \Rightarrow \dfrac{z}{{2 + {z^2}}} = \dfrac{{\overline z }}{{2 + {{\overline z }^2}}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow z\left( {2 + {{\overline z }^2}} \right) = \overline z \left( {2 + {z^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 2\left( {z - \overline z } \right) = z.\overline z \left( {z - \overline z } \right)\\ \Leftrightarrow \left( {z - \overline z } \right)\left( {z.\overline z - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow z.\overline z - 2 = 0 \Leftrightarrow \left| z \right| = \sqrt 2 \end{array}\)
Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C) tâm O(0;0), bán kính \(R = \sqrt 2 \) (trừ giao điểm của đường tròn với Ox do z không là số thực).
Gọi A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) \( \Rightarrow A,\,\,B \in \left( C \right)\) và AB = 2 (do \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 2\)).
Gọi I(0;3) là điểm biểu diễn số phức 0 + 3i.
Khi đó \(P = {\left| {{z_1} - 3i} \right|^2} + {\left| {{z_2} - 3i} \right|^2} = A{I^2} + B{I^2}\).
Gọi K là trung điểm của AB.
Áp dụng định lí Pytago ta có: \(OK = \sqrt {{R^2} - {{\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {2 - 1} = 1\) => K thuộc đường tròn (C’) tâm O(0;0), bán kính R’ = 1.
Ta có:
\(\begin{array}{l}I{K^2} = \dfrac{{I{A^2} + I{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4} = \dfrac{P}{2} - \dfrac{{{2^2}}}{4} = \dfrac{{P - 2}}{2}\\ \Rightarrow P = 2I{K^2} + 2\end{array}\)
Lại có \(IK \ge \left| {IO - OK} \right| = \left| {3 - 1} \right| = 2\) nên \(P \ge 10\).
Dấu “=” xảy ra khi I, K, O thẳng hàng.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
