Giả sử \({z_1},\,{z_2}\) là hai trong số các số phức z thỏa mãn \(\left( {z + i} \right)\left(
Giả sử \({z_1},\,{z_2}\) là hai trong số các số phức z thỏa mãn \(\left( {z + i} \right)\left( {\overline z + 3i} \right)\) là số thuần ảo. Biết rằng \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 3\), giá trị lớn nhất của \(\left| {{z_1} + 2{z_2}} \right|\) bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in {\bf{R}}} \right)\)
Khi đó tìm được quỹ tích điểm biểu diễn số phức \(z\).
Sử dụng phương pháp hình học để tìm max của \(\left| {{z_1} + 2{z_2}} \right|\)
Gọi \(z = x + yi\left( {x,y \in {\bf{R}}} \right)\), khi đó:
\(\left( {z + i} \right)\left( {\overline z + 3i} \right) = \left[ {x + \left( {y + 1} \right)i} \right].\left[ {x - \left( {y - 3} \right)i} \right]\) là số thuần ảo
\( \Leftrightarrow \) phần thực: \({x^2} + \left( {y + 1} \right)\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4 & \left( * \right)\)
Gọi
Và A, B thuộc đường tròn tâm \(I\left( {0;1} \right)\) và bán kính R = 2.
Xét điểm \(M\) thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 & \left( {2*} \right)\)
Khi đó: \(P = \left| {{z_1} + 2{z_2}} \right| = \left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = {\left| {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MA} + 2\left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} } \right)} \right|^{\left( {2*} \right)}} = 3\left| {\overrightarrow {OM} } \right| = 3OM\)
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), khi đó với (2*), suy ra:
\(\left\{ \begin{array}{l}MH = BH - BM = \dfrac{3}{2} - 1 = \dfrac{1}{2}\\IH = \sqrt {I{B^2} - H{B^2}} = \sqrt {{2^2} - {{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{2}\end{array} \right. \Rightarrow IM = \sqrt {M{H^2} + I{H^2}} = \sqrt 2 \)
Suy ra M thuộc đường tròn tâm \(I\left( {0;1} \right)\), bán kính \(r = \sqrt 2 \).
Khi đó: \({P_{\min }} = 3O{M_{\min }} = 3OC = 3\left( {OI + r} \right) = 3\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = 3 + 3\sqrt 2 \)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
