Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật \(AB = \sqrt 2 a,\,AD = 2a\), \(SA\) vuông góc
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật \(AB = \sqrt 2 a,\,AD = 2a\), \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = \sqrt 2 a\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\) và \(AD\) (tham khảo hình vẽ). Tính cosin của góc giữa đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\)?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Cách 1: Gọi \(P,Q\) lần lượt là trung điểm của AB, BC khi đó \(\left( {MPQ} \right)//\left( {SAC} \right)\)\( \Rightarrow \left( {MN,\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {MN,\left( {MPQ} \right)} \right)\)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên PQ \( \Rightarrow NH \bot \left( {MPQ} \right)\)
Suy ra: \(\left( {MN,\left( {MPQ} \right)} \right) = \angle NMH\)
Cách 2: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa: \(A\left( {0;0;0} \right),\,B\left( {\sqrt 2 ;0;0} \right),\,C\left( {\sqrt 2 ;2;0} \right),\,D\left( {0;2;0} \right),\,S\left( {0;0;\sqrt 2 } \right)\)
Cách 1: Gọi \(P,Q\) lần lượt là trung điểm của AB, BC khi đó \(\left( {MPQ} \right)//\left( {SAC} \right)\)\( \Rightarrow \left( {MN,\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {MN,\left( {MPQ} \right)} \right)\)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên PQ \( \Rightarrow NH \bot \left( {MPQ} \right)\)
Suy ra: \(\left( {MN,\left( {MPQ} \right)} \right) = \angle NMH\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}NH = \dfrac{{2{S_{NPQ}}}}{{PQ}} = \dfrac{{2.\dfrac{1}{4}{S_{ABCS}}}}{{\dfrac{{AC}}{2}}} = \dfrac{{{S_{ABCD}}}}{{AC}} = \dfrac{{AB.BC}}{{\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 .2a}}{{a\sqrt 6 }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\\MN = \sqrt {A{M^2} + A{N^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \end{array} \right.\)
Suy ra: \(MH = \sqrt {M{N^2} - N{H^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 6 a}}{3}\)
Suy ra \(\cos \angle NMP = \dfrac{{MH}}{{MN}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}:a\sqrt 2 = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Cách 2: Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ và cho a = 1.
Khi đó: \(A\left( {0;0;0} \right),\,B\left( {\sqrt 2 ;0;0} \right),\,C\left( {\sqrt 2 ;2;0} \right),\,D\left( {0;2;0} \right),\,S\left( {0;0;\sqrt 2 } \right)\)
Có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} = \left( {\sqrt 2 ;2;0} \right)\\\overrightarrow {AS} = \left( {0;0;\sqrt 2 } \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AS} } \right] = \left( {2\sqrt 2 ; - 2;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( {SAC} \right)}}} = \left( {\sqrt 2 ; - 1;0} \right)\)
Suy ra \(\sin \left( {MN,\left( {SAC} \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_{MN}}} .\overrightarrow {{n_{\left( {SAC} \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{MN}}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( {SAC} \right)}}} } \right|}} = \dfrac{{2\sqrt 2 }}{{2\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}\)
\( \Rightarrow \cos \left( {MN,\left( {SAC} \right)} \right) = \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
