Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 2a{x^2} + {a^2}x + b\left( {a,b \in {\bf{R}}} \right)\) có 2 điểm cực

Câu hỏi số 558351:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 2a{x^2} + {a^2}x + b\left( {a,b \in {\bf{R}}} \right)\) có 2 điểm cực trị \(A\) và \(B\). Biết tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(O\) (\(O\) là gốc tọa độ), giá trị của biểu thức \(P = {a^2} + {b^2}\) bằng

A. \(25\)

B. \(\dfrac{{10}}{3}\)

C. \(40\)

D. \(10\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:558351

Phương pháp giải

Tính \(f'\left( x \right)\), tìm nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\)

Tìm tọa độ hai điểm cực trị \(A,B\). Sử dụng điều kiện tam giác \(OAB\) vuông cân để tìm ra \(A,B\).

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4ax + {a^2};\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 4ax + {a^2} = 0\left( * \right)\)

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì \(\Delta ' = {a^2} > 0 \Leftrightarrow a \ne 0\)

Khi đó (*) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2a + a}}{3} = a \Rightarrow y = b\\x = \dfrac{{2a - a}}{3} = \dfrac{a}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{4{a^3}}}{{27}} + b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {a;b} \right)\\B\left( {\dfrac{a}{3};\dfrac{{4{a^3}}}{{27}} + b} \right)\end{array} \right.\)

Đặt \(c = \dfrac{a}{3} \ne 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {3c;b} \right)\\B\left( {c;4{c^3} + b} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{B^2} = 4{c^2} + 16{c^6}\\O{A^2} = 9{c^2} + {b^2}\\O{B^2} = {c^2} + 16{c^6} + 8{c^3}b + {b^2}\end{array} \right.\)

Tam giác OAB vuông cân \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}O{A^2} = O{B^2}\\A{B^2} = 2O{A^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{c^2} = 2{c^6} + {c^3}b\\8{c^6} = 7{c^2} + {b^2}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{c^4} + bc = 1\\8{c^6} = 7{c^2} + {b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1;c = - 1\\b = - 1;c = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1;a = - 3\\b = - 1;a = 3\end{array} \right. \Rightarrow T = {a^2} + {b^2} = 10\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.