Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\dfrac{z}{{{z^2} + 2\overline z }}\) là số thực và \(\left( {z + 2}

Câu hỏi số 558403:

Vận dụng

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\dfrac{z}{{{z^2} + 2\overline z }}\) là số thực và \(\left( {z + 2} \right)\left( {\overline z + 2i} \right)\) là số thuần ảo?

A. 2

B. 1

C. 0

D. 3

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:558403

Phương pháp giải

- Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\).

- Từ giả thiết \(\left( {z + 2} \right)\left( {\overline z + 2i} \right)\) là số thuần ảo tìm biểu thức biểu diễn mối quan hệ giữa a và b.

- Sử dụng: \(\dfrac{z}{{{z^2} + 2\overline z }}\) là số thực nên \(\dfrac{z}{{{z^2} + 2\overline z }} = \overline {\dfrac{z}{{{z^2} + 2\overline z }}} \). Tiếp tục lập 1 biểu thức biểu diễn mối quan hệ giữa a và b.

- Giải hệ tìm a và b.

Giải chi tiết

Đặt \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\).

ĐK: \({z^2} + 2\overline z \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {a + bi} \right)^2} + 2\left( {a - bi} \right) \ne 0\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {z + 2} \right)\left( {\overline z + 2i} \right)\\ = \left( {a + bi + 2} \right)\left( {a - bi + 2i} \right)\\ = \left[ {\left( {a + 2} \right) + bi} \right]\left[ {a - \left( {b - 2} \right)i} \right]\\ = \left( {a + 2} \right)a + b\left( {b - 2} \right) - \left[ {\left( {a + 2} \right)\left( {b - 2} \right) - abi} \right]i\end{array}\)

\(\left( {z + 2} \right)\left( {\overline z + 2i} \right)\) là số thuần ảo nên \(\left( {a + 2} \right)a + b\left( {b - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 2a - 2b = 0\,\,\left( * \right)\).

Vì \(\dfrac{z}{{{z^2} + 2\overline z }}\) là số thực nên \(\dfrac{z}{{{z^2} + 2\overline z }} = \overline {\dfrac{z}{{{z^2} + 2\overline z }}} \).

Ta có: \(\overline {\dfrac{z}{{{z^2} + 2\overline z }}} = \dfrac{{\overline z }}{{{{\overline z }^2} + 2z}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{z}{{{z^2} + 2\overline z }} = \dfrac{{\overline z }}{{{{\overline z }^2} + 2z}}\\ \Rightarrow z.\left( {{{\overline z }^2} + 2z} \right) = \overline z \left( {{z^2} + 2\overline z } \right)\\ \Leftrightarrow z.{\overline z ^2} + 2{z^2} = \overline z .{z^2} + 2{\overline z ^2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left| z \right|^2}.\overline z + 2{z^2} = {\left| z \right|^2}.z + 2{\overline z ^2}\\ \Leftrightarrow {\left| z \right|^2}\left( {z - \overline z } \right) - 2\left( {{z^2} - {{\overline z }^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left| z \right|^2}\left( {z - \overline z } \right) - 2\left( {z - \overline z } \right)\left( {z + \overline z } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {z - \overline z } \right)\left[ {{{\left| z \right|}^2} - 2\left( {z + \overline z } \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}z = \overline z \\{\left| z \right|^2} - 2\left( {z + \overline z } \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + bi = a - bi\\{a^2} + {b^2} - 2\left( {a + bi + a - bi} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\\{a^2} + {b^2} - 4a = 0\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: b = 0.

Thay vào (*) ta có: \({a^2} + 2a = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\a = - 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) Có 1 số phức thỏa mãn là z = -2.

TH2: \({a^2} + {b^2} - 4a = 0\) \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 4a\) (**).

Thay vào (*) ta có: \(4a + 2a - 2b = 0 \Leftrightarrow b = 3a\).

Thay ngược lại vào (**) ta có: \({a^2} + 9{a^2} = 4a \Leftrightarrow 10{a^2} = 4a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0 \Rightarrow b = 0\,\,\left( {ktm} \right)\\a = \dfrac{2}{5} \Rightarrow b = \dfrac{6}{5}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \)Có 1 số phức thỏa mãn là \(z = \dfrac{2}{5} + \dfrac{6}{5}i\).

Vậy có tất cả 2 số phức thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.