Cho bất phương trình \({8^x} + 3x{4^x} + \left( {3{x^2} + 2} \right){2^x} \le \left( {{m^3} - 1} \right){x^3} +

Câu hỏi số 558405:

Vận dụng cao

Cho bất phương trình \({8^x} + 3x{4^x} + \left( {3{x^2} + 2} \right){2^x} \le \left( {{m^3} - 1} \right){x^3} + 2\left( {m - 1} \right)x\). Số các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có đúng năm nghiệm dương phân biệt là:

A. 5

B. 3

C. 4

D. 6

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:558405

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp xét hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{8^x} + 3x{4^x} + \left( {3{x^2} + 2} \right){2^x} \le \left( {{m^3} - 1} \right){x^3} + 2\left( {m - 1} \right)x\\ \Leftrightarrow {8^x} + 3x{4^x} + 3{x^2}{2^x} + {2^{x + 1}} \le {m^3}{x^3} - {x^3} + 2mx - 2x\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^x}} \right)^3} + 3.{\left( {{2^x}} \right)^2}.x + 3{x^2}{.2^x} + {x^3} + {2^{x + 1}} + 2x \le {\left( {mx} \right)^3} + 2mx\\ \Leftrightarrow {\left( {{2^x} + x} \right)^3} + 2\left( {{2^x} + x} \right) \le {\left( {mx} \right)^3} + 2mx\end{array}\)

Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {t^3} + 2t\) có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 2 > 0\,\,\forall t\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Khi đó \(f\left( {{2^x} + x} \right) \le f\left( {mx} \right) \Leftrightarrow {2^x} + x \le mx\) \( \Leftrightarrow g\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}}}{x} + 1 \le m\) \(\left( {x > 0} \right)\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}}}{x} + 1\) với \(x > 0\) ta có \(g'\left( x \right) = \dfrac{{{2^x}\ln 2.x - {2^x}}}{{{x^2}}} = \dfrac{{{2^x}\left( {x\ln 2 - 1} \right)}}{{{x^2}}}\).

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x\ln 2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{{\ln 2}} = {\log _2}e = {x_0}\).

BBT hàm số g(x):

Vì f(1) = f(2) < f(5) nên để bất phương trình có đúng 5 nghiệm nguyên dương phân biệt thì \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( 5 \right) \le m - 1\\g\left( 6 \right) > m - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{37}}{5} \le m < \dfrac{{35}}{3}\).

Mà m nguyên nên \(m \in \left\{ {8;9;10;11} \right\}\).

Vậy có 4 giá trị m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.