Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\,;\,\,B\left( {0;1;1} \right)\,;\,\,C\left( {1;0;

Câu hỏi số 559061:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;2;3} \right)\,;\,\,B\left( {0;1;1} \right)\,;\,\,C\left( {1;0; - 2} \right)\) mà mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + z + 2 = 0\). Gọi \(M\) là điểm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho biểu thức \(T = M{A^2} + 2M{B^2} + 3M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\,2x - y - 2z + 3 = 0\)?

A. \(\dfrac{{2\sqrt 5 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{121}}{{54}}\)

C. \(24\)

D. \(\dfrac{{91}}{{54}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559061

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có:

\(T = M{A^2} + 2M{B^2} + 3M{C^2} = {\left( {\overrightarrow {MA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MB} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MC} } \right)^2}\)

\( = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\)

\( = 6M{I^2} + \left( {I{A^2} + 2I{B^2} + 3I{C^2}} \right) + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} } \right)\)

Tìm điểm \(I\) sao cho \(\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow I\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3}; - \dfrac{1}{6}} \right)\)

\( \Rightarrow T = 6M{I^2} + \underbrace {\left( {I{A^2} + 2I{B^2} + 3I{C^2}} \right)}_{const}\)

\( \Rightarrow {T_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(I\) trên \(\left( P \right) \Rightarrow M{I_{\min }} \Leftrightarrow M \equiv H\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(I\) và vuông góc với \(\left( P \right)\)

\( \Rightarrow \) phương trình \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{2}{3} + t\\y = \dfrac{2}{3} + t\\z = - \dfrac{1}{{6 + t}}\end{array} \right.\)

Có \(\Delta \cap \left( P \right) = H\)

+ \(H \in \Delta \Rightarrow H\left( {\dfrac{2}{3} + t\,;\,\,\dfrac{2}{3} + t\,;\,\, - \dfrac{1}{6} + t} \right)\)

+ \(H \in \left( P \right) \Rightarrow \left( {\dfrac{2}{3} + t} \right) + \left( {\dfrac{2}{3} + t} \right) + \left( { - \dfrac{1}{6} + t} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow 3t + \dfrac{{19}}{6} = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{{19}}{{18}}\)

\( \Rightarrow H\left( { - \dfrac{7}{{18}}; - \dfrac{7}{{18}}; - \dfrac{{11}}{9}} \right) \Leftrightarrow M\left( { - \dfrac{7}{{18}}; - \dfrac{7}{{18}}; - \dfrac{{11}}{9}} \right)\)

Mà \(\left( Q \right):\,\,2x - y + 2z + 3 = 0 \Rightarrow d\left( {M;\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2.\dfrac{{ - 7}}{{18}} - 1.\dfrac{{ - 7}}{{18}} + 2.\dfrac{{ - 11}}{9} + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \dfrac{{91}}{{54}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.