Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty }

Câu hỏi số 559464:

Vận dụng

Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = e,\) \(f\left( x \right) = f'\left( x \right).\sqrt {3{\rm{x}} + 1} ,\) với mọi \(x > 0.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \(10 < f\left( 5 \right) < 11\)

B. \(4 < f\left( 5 \right) < 5\)

C. \(11 < f\left( 5 \right) < 12\)

D. \(3 < f\left( 5 \right) < 4\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559464

Phương pháp giải

- Biến đổi \(f\left( x \right) = f'\left( x \right).\sqrt {3{\rm{x}} + 1} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {3{\rm{x}} + 1} }}\).

- Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm 2 vế, từ đó tìm hàm f(x).

- Dựa vào giả thiết f(1) = e tìm hằng số C, suy ra hàm f(x) tường minh.

- Tính f(5).

Giải chi tiết

Xét \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( x \right) > 0\) ta có: \(f\left( x \right) = f'\left( x \right).\sqrt {3{\rm{x}} + 1} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {3{\rm{x}} + 1} }}\)

\( \Rightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} dx = \int {\dfrac{1}{{\sqrt {3{\rm{x}} + 1} }}} dx = \int {\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}} d\left( {f\left( x \right)} \right) = \dfrac{2}{3}\int {\dfrac{1}{{2\sqrt {3{\rm{x}} + 1} }}} d\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \ln \left( {f\left( x \right)} \right) = \dfrac{2}{3}\sqrt {3{\rm{x}} + 1} + C \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\dfrac{2}{3}\sqrt {3{\rm{x}} + 1} + C}}\)

Theo bài ra ta có: \(f\left( 1 \right) = e\) nên \({e^{\dfrac{4}{3} + C}} = e \Rightarrow C = - \dfrac{1}{3} \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\dfrac{2}{3}\sqrt {3{\rm{x}} + 1} - \dfrac{1}{3}}}\)

Do đó \(f\left( 5 \right) \approx 10,3123 \Rightarrow 10 < f\left( 5 \right) < 11\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.