Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = e,\) \(f\left( x \right) = f'\left( x \right).\sqrt {3{\rm{x}} + 1} ,\) với mọi \(x > 0.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 559464: Giả sử hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = e,\) \(f\left( x \right) = f'\left( x \right).\sqrt {3{\rm{x}} + 1} ,\) với mọi \(x > 0.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. \(10 < f\left( 5 \right) < 11\)

B. \(4 < f\left( 5 \right) < 5\)

C. \(11 < f\left( 5 \right) < 12\)

D. \(3 < f\left( 5 \right) < 4\)

Câu hỏi : 559464

Phương pháp giải:

- Biến đổi \(f\left( x \right) = f'\left( x \right).\sqrt {3{\rm{x}} + 1} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {3{\rm{x}} + 1} }}\).

- Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm 2 vế, từ đó tìm hàm f(x).

- Dựa vào giả thiết f(1) = e tìm hằng số C, suy ra hàm f(x) tường minh.

- Tính f(5).

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và \(f\left( x \right) > 0\) ta có: \(f\left( x \right) = f'\left( x \right).\sqrt {3{\rm{x}} + 1} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {3{\rm{x}} + 1} }}\)

\( \Rightarrow \int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} dx = \int {\dfrac{1}{{\sqrt {3{\rm{x}} + 1} }}} dx = \int {\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}} d\left( {f\left( x \right)} \right) = \dfrac{2}{3}\int {\dfrac{1}{{2\sqrt {3{\rm{x}} + 1} }}} d\left( {3{\rm{x}} + 1} \right)\)

\( \Rightarrow \ln \left( {f\left( x \right)} \right) = \dfrac{2}{3}\sqrt {3{\rm{x}} + 1} + C \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\dfrac{2}{3}\sqrt {3{\rm{x}} + 1} + C}}\)

Theo bài ra ta có: \(f\left( 1 \right) = e\) nên \({e^{\dfrac{4}{3} + C}} = e \Rightarrow C = - \dfrac{1}{3} \Rightarrow f\left( x \right) = {e^{\dfrac{2}{3}\sqrt {3{\rm{x}} + 1} - \dfrac{1}{3}}}\)

Do đó \(f\left( 5 \right) \approx 10,3123 \Rightarrow 10 < f\left( 5 \right) < 11\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.