Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) thỏa mãn \(f''\left( x

Câu hỏi số 559465:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) thỏa mãn \(f''\left( x \right)f\left( x \right) + \dfrac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}{{\sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^3}} }} = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}\) và \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left[ {0;4} \right].\) Biết rằng \(f'\left( 0 \right) = f\left( 0 \right) = 1,\) giá trị của \(f\left( 4 \right)\) bằng

A. \({e^2}\)

B. \(2e\)

C. \({e^3}\)

D. \({e^2} + 1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559465

Phương pháp giải

- Biến đổi và sử dụng công thức đạo hàm của thương.

- Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế.

Giải chi tiết

Ta có: \(f''\left( x \right)f\left( x \right) + \dfrac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}{{\sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^3}} }} = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} \Leftrightarrow f''\left( x \right)f\left( x \right) - {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = - \dfrac{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}}{{\sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^3}} }}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{f''\left( x \right)f\left( x \right) - {{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}}}{{{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}}} = - \dfrac{1}{{\sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^3}} }} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} \right)'} = - \dfrac{1}{{\sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^3}} }}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = - \int {\dfrac{1}{{\sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^3}} }}} dx \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = - \int {{{\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}^{\dfrac{{ - 3}}{2}}}} dx \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {2{\rm{x}} + 1} }} + {C_1}\)

Thay \(x = 0\) ta được \({C_1} = 0\)

\( \Rightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {2{\rm{x}} + 1} }} \Rightarrow \int\limits_{}^{} {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}dx} = \int {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {2{\rm{x}} + 1} }}} \Leftrightarrow \ln \left[ {f\left( x \right)} \right] = \sqrt {2{\rm{x}} + 1} + {C_2}\)

Thay \(x = 0\) ta được \({C_2} = - 1.\)

\( \Rightarrow \ln \left[ {f\left( x \right)} \right] = \sqrt {2{\rm{x}} + 1} - 1\)

Thay \(x = 4\) ta được \(\ln \left[ {f\left( 4 \right)} \right] = 2 \Rightarrow f\left( 4 \right) = {e^2}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.