Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2mx - 2\left( {m - 1} \right)y - mz + m -

Câu hỏi số 559473:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2mx - 2\left( {m - 1} \right)y - mz + m - 2 = 0\) là phương trình của mặt cầu \(\left( {{S_m}} \right).\) Biết với mọi số thực m thì \(\left( {{S_m}} \right)\) luôn chứa một đường tròn cố định. Tìm bán kính I của đường tròn đó.

A. \(r = \dfrac{1}{2}\)

B. \(r = \sqrt 2 \)

C. \(r = \sqrt 3 \)

D. \(r = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559473

Phương pháp giải

- Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) là một điểm thuộc đường tròn cố định với mọi số thực m. Đưa phương trình đường tròn về phương trình bậc nhất ẩn m nghiệm đúng. Từ đó tìm mặt phẳng giao tuyến.

- Tính bán kính \(r = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I,\left( P \right)} \right)} \right]}^2}} \).

Giải chi tiết

Gọi \(M\left( {x;y;z} \right)\) là một điểm thuộc đường tròn cố định với mọi số thực m, khi đó ta có:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2m{\rm{x}} - 2\left( {m - 1} \right)y - m{\rm{z}} + m - 2 = 0\) đúng với \(\forall m\)

\( \Leftrightarrow \;m\left( {2{\rm{x}} - 2y - z + 1} \right) + {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2y - 2 = 0\) đúng với \(\forall m\)

\( \Leftrightarrow \;\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 2y - z + 1 = 0\\{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2y - 2 = 0\end{array} \right.\)

Vậy đường tròn cố định là giao tuyến của mặt phẳng \(2x - 2y - z + 1 = 0\) và mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 2y - 2 = 0\) có tâm \(I\left( {0; - 1;0} \right),\) bán kính \(R = \sqrt 3 \)

Do đó bán kính đường tròn \(r = \sqrt {{R^2} - {{\left[ {d\left( {I,\left( P \right)} \right)} \right]}^2}} = \sqrt {3 - {{\left( {\dfrac{{\left| {2 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }}} \right)}^2}} = \sqrt 2 \)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.