Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm A(2;-2;4), B(-3;3;-1) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + 2z

Câu hỏi số 560147:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm A(2;-2;4), B(-3;3;-1) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2x - y + 2z - 8 = 0\). Xét điểm \(M\) thay đổi thuộc \(\left( P \right)\), tìm giá trị nhỏ nhất của \(2M{A^2} + 3M{B^2}\).

A. 135.

B. 108.

C. 105.

D. 145.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560147

Phương pháp giải

- Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \). Tìm tọa độ điểm I.

- Khi đó \(2M{A^2} + 3M{B^2} = 5M{I^2} + 2I{A^2} + 3I{B^2}\).

- Biện luận \(P = 2M{A^2} + 3M{B^2}\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(MI\) nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2\left( {2 - a} \right) + 3\left( { - 3 - a} \right) = 0\\2\left( { - 2 - b} \right) + 3\left( {3 - b} \right) = 0\\2\left( {4 - c} \right) + 3\left( { - 1 - c} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 1\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( { - 1;1;1} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = 2M{A^2} + 3M{B^2} = 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\\,\,\,\,\, = 2M{I^2} + 4\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + 2I{A^2} + 3M{I^2} + 6\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + 3I{B^2}\\\,\,\,\,\, = 5M{I^2} + 2I{A^2} + 3I{B^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} } \right)\\\,\,\,\,\, = 5M{I^2} + 2I{A^2} + 3I{B^2}\end{array}\).

Ta có: \(2I{A^2} + 3I{B^2} = 2.27 + 3.12 = 90\) không đổi.

Do đó \(P = 2M{A^2} + 3M{B^2}\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(MI\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của \(I\) trên \(\left( P \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(I\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t - 1\\y = - t + 1\\z = 2t + 1\end{array} \right.\).

Mà \(M \in d\) nên \(M\left( {2t - 1; - t + 1;2t + 1} \right)\).

Hơn nữa \(M \in \left( P \right)\) nên \(2\left( {2t - 1} \right) - \left( { - t + 1} \right) + 2\left( {2t + 1} \right) - 8 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

Suy ra \(M\left( {1;0;3} \right) \Rightarrow M{I^2} = 9\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(2M{A^2} + 3M{B^2}\) là \(5.9 + 90 = 135\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.