Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 2}^2 {\dfrac{{{x^{2020}}}}{{{e^x} + 1}}dx} \).

Câu hỏi số 560189:

Vận dụng

A. \(I = \dfrac{{{2^{2021}}}}{{2020}}\).

B. \(I = \dfrac{{{2^{2021}}}}{{2021}}\).

C. \(I = 0\).

D. \(I = \dfrac{{{2^{2021}}}}{{2022}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560189

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất: \(\int\limits_{ - a}^0 {\dfrac{{{x^{2n}}}}{{{e^x} + 1}}dx} = \int\limits_0^a {\dfrac{{{x^{2n}}.{e^x}}}{{{e^x} + 1}}dx} ,\,\,n \in \mathbb{N}*\).

Giải chi tiết

Ta có: \(I = \int\limits_{ - 2}^2 {\dfrac{{{x^{2020}}}}{{{e^x} + 1}}dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {\dfrac{{{x^{2020}}}}{{{e^x} + 1}}dx} + \int\limits_0^2 {\dfrac{{{x^{2020}}}}{{{e^x} + 1}}dx} \).

Đặt \(x = - t \Rightarrow dx = - dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 \Rightarrow t = 2\\x = 0 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).

Khi đó \(\int\limits_{ - 2}^0 {\dfrac{{{x^{2020}}}}{{{e^x} + 1}}dx} = \int\limits_0^2 {\dfrac{{{t^{2020}}}}{{{e^{ - t}} + 1}}dt} = \int\limits_0^2 {\dfrac{{{t^{2020}}.{e^t}}}{{{e^t} + 1}}dt} = \int\limits_0^2 {\dfrac{{{x^{2020}}.{e^x}}}{{{e^x} + 1}}dx} \).

Suy ra \(I = \int\limits_0^2 {\dfrac{{{x^{2020}}.{e^x}}}{{{e^x} + 1}}dx} + \int\limits_0^2 {\dfrac{{{x^{2020}}}}{{{e^x} + 1}}dx} = \int\limits_0^2 {{x^{2020}}dx} = \left. {\dfrac{{{x^{2021}}}}{{2021}}} \right|_0^2 = \dfrac{{{2^{2021}}}}{{2021}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.