Tứ diện \(ABCD\) có \(ABC\) là tam giác đều. Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) và

Câu hỏi số 560866:

Vận dụng

Tứ diện \(ABCD\) có \(ABC\) là tam giác đều. Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là \(60^\circ \) . Hình cầu tâm \(O\)bán kính bằng 1 tiếp xúc\(AB,AC\), và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(D\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), \(H\) nằm trong tam giác\(ABC\). Biết rằng \(O\) thuộc đường thẳng \(DH\) và \(DH = \dfrac{{AB}}{2}\). Tính thể tích tứ diện \(ABCD\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560866

Phương pháp giải

Xác định góc giữa \(\left( {\left( {ABC} \right),\left( {DBC} \right)} \right)\) là góc \(\angle DNH\) với \(N\) là trung điểm của\(BC\).

Đặt \(AB = x\), từ đó biểu diễn độ dài các đoạn thẳng \(DH,AN,HN,OH,OD\) theo \(x\).

Chỉ ra \(N\) là trọng tâm tam giác\(ABC\) và \(N\) là tiếp điểm của mặt cầu với \(\left( {BCD} \right)\).

Sử dụng công thức tính thể tích tứ diện \(ABCD:\,{V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.DH.{S_{ABC}}\)

Giải chi tiết

Gọi \(N\) là trung điểm của\(BC\).

Kẻ \(OM\) vuông góc với \(AB\) tại \(M\); \(OP\) vuông góc với \(AC\)tại \(P\)\( \Rightarrow OM = OP = 1\)

\( \Rightarrow HM = HP \Rightarrow H\) cách đều \(AB,AC \Rightarrow H \in AN.\)

\( \Rightarrow \left( {\left( {ABC} \right),\left( {DBC} \right)} \right) = \angle DNH = 60^\circ \)

Đặt \(AB = x \Rightarrow DH = \dfrac{x}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HN = \dfrac{{DH}}{{\tan 60^\circ }} = \dfrac{{x\sqrt 6 }}{3}\\DN = \sqrt {D{H^2} + H{N^2}} = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\)

Lại có: \(AN = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow HN = \dfrac{1}{3}AN \Rightarrow N\) là trọng tâm tam giác\(ABC\).

Ta có: \(AB \bot \left( {OHM} \right) \Rightarrow AB \bot HM \Rightarrow M\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow HM = HN \Rightarrow OM = ON\)

\( \Rightarrow ON = 1 \Rightarrow N\) là tiếp điểm của mặt cầu với \(\left( {BCD} \right)\).

\( \Rightarrow OH = \sqrt {O{N^2} - N{H^2}} = \dfrac{1}{6}\sqrt {36 - 3{x^2}} \)

Lại có: \(OD = \sqrt {O{N^2} + N{D^2}} = \dfrac{1}{3}\sqrt {9 + 3{x^2}} \)\( \Rightarrow \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{6}\sqrt {36 - 3{x^2}} = \dfrac{1}{3}\sqrt {9 + 3{x^2}} \Leftrightarrow x = 3\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}DH = \dfrac{3}{2}\\{S_{ABC}} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{4}\end{array} \right. \Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}DH.{S_{ABC}} = \dfrac{{9\sqrt 3 }}{8}\)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.