Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho các điểm \(A\left( {2;0;2} \right),B\left( {0;2;0}

Câu hỏi số 560867:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho các điểm \(A\left( {2;0;2} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {1;0;3} \right)\) . Gọi \(M\) là điểm trong không gian thỏa mãn\(M{A^2} + M{C^2} = M{B^2}.\) Tính \(MP\) với \(P\left( {3;2; - 5} \right)\).

A. \(\sqrt 2 .\)

B. \(2.\)

C. \(2\sqrt 5 .\)

D. \(2\sqrt 6 .\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560867

Phương pháp giải

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {IB} \left( * \right).\) Tính tọa độ vectơ \(\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} ,\overrightarrow {IC} \).

Từ đó lập hệ phương trình chỉ ra điểm \(I\) trùng với điểm \(P\). Do đó \(MI = MP\)

Biến đổi \(M{A^2} + M{C^2} - M{B^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} - {\overrightarrow {MB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\) để tìm \(MI\).

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow {IB} \left( * \right).\)

Ta có \(\overrightarrow {IA} = \left( {2 - x; - y;2 - z} \right);\overrightarrow {IB} = \left( { - x;2 - y; - z} \right);\overrightarrow {IC} = \left( {1 - x; - y;3 - z} \right)\)

Khi đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - x + 1 - x = - x\\ - y - y = 2 - y\\2 - z + 3 - z = - z\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 2\\z = 5\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {3; - 2;5} \right) \equiv P\)

Suy ra \(\overrightarrow {IA} = \left( { - 1;2; - 3} \right) \Rightarrow I{A^2} = 14;\overrightarrow {IB} = \left( { - 3;4; - 5} \right) \Rightarrow I{B^2} = 50;\overrightarrow {IC} = \left( { - 2;2; - 2} \right) \Rightarrow I{B^2} = 12\)

Ta có: \(M{A^2} + M{C^2} = M{B^2} \Leftrightarrow M{A^2} + M{C^2} - M{B^2} = 0\)

Khi đó \(M{A^2} + M{C^2} - M{B^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} - {\overrightarrow {MB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\)

\( = M{I^2} + I{A^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + M{I^2} + I{C^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IC} - M{I^2} - I{B^2} - 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} \)

\( = M{I^2} + \left( {I{A^2} + I{C^2} - I{B^2}} \right) + 2\overrightarrow {MI} .\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IC} - \overrightarrow {IB} } \right) = 0\) hay \( \Leftrightarrow M{P^2} + \left( {14 + 12 - 50} \right) = 0 \Leftrightarrow MP = 2\sqrt 6 \)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.