Cho \(0 < m \ne 1\). Gọi \(\left( {a,b} \right)\) là tập hợp các giá trị \(m\) để bất phương

Câu hỏi số 560870:

Vận dụng cao

Cho \(0 < m \ne 1\). Gọi \(\left( {a,b} \right)\) là tập hợp các giá trị \(m\) để bất phương trình \({\log _m}\left( {1 - 8{m^{ - x}}} \right) \ge 2\left( {1 - x} \right)\) có hữu hạn nghiệm nguyên. Tính \(b - a\)

A. \(1.\)

B. \(3\sqrt 2 - 1.\) C.\(2\sqrt 2 - 1.\) D. \(4\sqrt 2 - 1.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560870

Phương pháp giải

Chia \(2\) trường hợp: \(m > 1\) và \(0 < m < 1\)

Đặt điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}1 - 8{m^{ - x}} > 0\\0 < m \ne 1\end{array} \right.\)

Từ đó giải bất phương trình logarit để đưa về bất phương trình mũ và tìm được khoảng giá trị của \(x\).

Giải chi tiết

TH1: \(m > 1\)

Ta có : \({\log _m}\left( {1 - 8{m^{ - x}}} \right) \ge 2\left( {1 - x} \right) \Leftrightarrow 1 - 8{m^{ - x}} \ge {m^{2 - 2x}} \Leftrightarrow {m^2}.{m^{ - 2x}} + 8{m^{ - x}} - 1 \le 0\)

\( \Leftrightarrow 0 < {m^{ - x}} < \dfrac{{\sqrt {16 + {m^2}} - 4}}{{{m^2}}} \Leftrightarrow - x \le {\log _m}\left( {\dfrac{{\sqrt {16 + {m^2}} - 4}}{{{m^2}}}} \right) \Leftrightarrow x \ge - {\log _m}\left( {\dfrac{{\sqrt {16 + {m^2}} - 4}}{{{m^2}}}} \right).\)

Trong trường hợp này không có hữu hạn nghiệm nguyên.

TH2: \(0 < m < 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _m}\left( {1 - 8{m^{ - x}}} \right) \ge 2\left( {1 - x} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - 8{m^{ - x}} \le {m^{2 - 2x}}\\1 - 8{m^{ - x}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2}.{m^{ - 2x}} + 8m - 1 \ge 0\\{m^{ - x}} \le \dfrac{1}{8}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{m^{ - x}} \ge \dfrac{{\sqrt {16 - {m^2}} - 4}}{{{m^2}}}\\ - x \le {\log _m}\dfrac{1}{8}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x \le {\log _m}\dfrac{{\sqrt {16 + {m^2}} - 4}}{{{m^2}}}\\x < {\log _m}8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - {\log _m}\dfrac{{\sqrt {16 + {m^2}} - 4}}{{{m^2}}}\\x < {\log _m}8\end{array} \right.\end{array}\)

Để bất phương trinh có hữu hạn nghiệm nguyên thì:

\({\log _m}8 + {\log _m}\dfrac{{\sqrt {16 + {m^2}} - 4}}{{{m^2}}} > 0 \Leftrightarrow {\log _m}\dfrac{{8\sqrt {16 + {m^2}} - 32}}{{{m^2}}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{8\sqrt {16 + {m^2}} - 32}}{{{m^2}}} < 1\)

\( \Leftrightarrow 8\sqrt {16 + {m^2}} < {m^2} + 32 \Leftrightarrow {m^4} > 0,\forall m \in \left( {0,1} \right)\)

Vậy \(b - a = 1\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.