Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(N\left( {2;3;4} \right)\). Một mặt cầu bất

Câu hỏi số 560874:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho điểm \(N\left( {2;3;4} \right)\). Một mặt cầu bất kỳ đi qua \(O\) và \(N\) cắt các trục tọa độ \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt tại\(A,B,C \ne 0\) . Biết rằng khi mặt cầu thay đổi nhưng vẫn thỏa đề bài, trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) luôn nằm trên một mặt phẳng cố định. Mặt phẳng cố định này chắn các trục tọa độ thành một tứ diện, tính thể tích của khối tứ diện đó.

A. \(\dfrac{{24389}}{{3888}}.\)

B. \(\dfrac{{24389}}{{4374}}.\)

C. \(\dfrac{{24389}}{{8748}}.\)

D. \(\)\(\dfrac{{24389}}{{2916}}.\)

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560874

Phương pháp giải

Gọi\(A\left( {a;0;0} \right) = S \cap Ox,B\left( {0;b;0} \right) = \left( S \right) \cap Oy,C\left( {0;c;0} \right) = \left( S \right) \cap Oz.\)

Chỉ ra tâm của mặt cầu là \(I\left( {\dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2};\dfrac{c}{2}} \right)\)

Sử dụng tính chất hình hộp, \(\overrightarrow {OG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {OI} \Rightarrow G\left( {\dfrac{a}{3};\dfrac{b}{3};\dfrac{c}{3}} \right)\)

Chỉ ra \(I\) thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn \(ON\).

Gọi \(M = \left( P \right) \cap Ox,\,\,N = \left( P \right) \cap Oy\)

Sử dụng công thức tính thể tích \(OMNP\) là \(V = \dfrac{1}{6}.OM.ON.OP\)

Giải chi tiết

Giả sử \(A\left( {a;0;0} \right) = S \cap Ox,B\left( {0;b;0} \right) = \left( S \right) \cap Oy,C\left( {0;c;0} \right) = \left( S \right) \cap Oz.\)

Khi đó \(I\) là tâm của mặt cầu có tọa độ là \(I\left( {\dfrac{a}{2};\dfrac{b}{2};\dfrac{c}{2}} \right)\)

Theo tính chất hình hộp, ta có \(\overrightarrow {OG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {OI} \Rightarrow G\left( {\dfrac{a}{3};\dfrac{b}{3};\dfrac{c}{3}} \right)\)

Do \(O,N \in \left( S \right)\) \( \Rightarrow IO = IN \Rightarrow I\) thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn \(ON\)

\( \Rightarrow 2a + 3b + 4c = 29 \Leftrightarrow 2.\dfrac{a}{3} + 3.\dfrac{b}{3} + 4.\dfrac{c}{3} = \dfrac{{29}}{3} \Leftrightarrow 2{x_G} + 3{x_G} + 4{x_G} = \dfrac{{29}}{3}\)

Suy ra \(G \in \left( P \right):2x + 3y + 4z = \dfrac{{29}}{3}\)

Gọi \(M = \left( P \right) \cap Ox \Rightarrow M\left( {\dfrac{{29}}{6};0;0} \right),N = \left( P \right) \cap Oy \Rightarrow N\left( {0;\dfrac{{29}}{9};0} \right)\) và \(P = \left( P \right) \cap Oz \Rightarrow P\left( {0;0;\dfrac{{29}}{{12}}} \right)\)

Vậy \({V_{OMNP}} = \dfrac{1}{6}OM.ON.OP = \dfrac{{24389}}{{3888}}\).

Chọn A.

Đáp án cần chọn là:

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.