Cho hàm số \(y = \dfrac{{{m^2} + \left( {m + 2} \right)x + 5}}{{{x^2} + 1}}.\) Gọi \(S\)là tập hợp các giá

Câu hỏi số 560873:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = \dfrac{{{m^2} + \left( {m + 2} \right)x + 5}}{{{x^2} + 1}}.\) Gọi \(S\)là tập hợp các giá trị của \(m\) sao cho đồ thị hàm số đã cho có đúng hai điểm cực trị và đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số cắt hai trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng \(\dfrac{{25}}{4}\) . Tính tổng các phần tử của \(S\).

A. \(0.\)

B. \(1.\) C.\( - 4.\) D. \( - 2.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560873

Phương pháp giải

Tính \(y'\).

Xét \(y' = 0\), sử dụng định lí Vi-ét.

Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\) nên sử dụng công thức: \({S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}.OA.OB\)

Từ đó tìm được các giá trị \(m\) thỏa mãn.

Giải chi tiết

Ta có: \(y = m + \dfrac{{\left( {m + 2} \right)x + 5 - m}}{{{x^2} + 1}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - \left( {m + 2} \right){x^2} + 2\left( {m - 5} \right)x + m + 2}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)

Với \(\forall m \ne - 2\) ta có \(y' = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1}.{x_2} = - 1\\{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2\left( {m - 5} \right)}}{{m + 2}}\end{array} \right.\)

Mặt khác, đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

\(\Delta :y = \dfrac{{ - 2\left( {m + 2} \right)x - 4.5.1}}{{ - 4.1}} = \dfrac{{m + 2}}{2}x + 5\)

Gọi \(A = \Delta \cap Ox \Rightarrow A\left( { - \dfrac{{10}}{{m + 2}};0} \right)\) và \(B = \Delta \cap Oy \Rightarrow B\left( {0;5} \right)\)

Do đó: \({S_{OAB}} = \dfrac{{25}}{4} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.OA.OB = \dfrac{{25}}{4} \Leftrightarrow \dfrac{5}{2}.\dfrac{{10}}{{\left| {m + 2} \right|}} = \dfrac{{25}}{4} \Leftrightarrow \left| {m + 2} \right| = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 6\end{array} \right.\)

Do đó \({m_1} + {m_2} = - 4\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.