Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 = 8 và điểm \(M\left(
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 = 8 và điểm \(M\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};0} \right)\) . Đường thẳng d thay đổi đi qua M và cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B phân biệt. Tính diện tích S lớn nhất của tam giác OAB.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Tìm ra vị trí của M nằm trong đường tròn.
- Lập hàm diện tích theo biến là đường cao và biện luận
Ta có: Mặt cầu (S) có tâm O(0;0;0), bán kính \(R = 2\sqrt 2 \).
Có \(OM = 1 < 2\sqrt 2 \) nên M nằm trong (S)
Dựng \(OH \bot AB\,\,\,\left( {H \in AB} \right)\), đặt OH = x. Khi đó \(0 \le x \le OM = 1\)
Khi đó diện tích tam giác OAB là:
\(\begin{array}{l}{S_{OAB}} = \dfrac{1}{2}OH.AB = \dfrac{1}{2}OH.2HB = OH.\sqrt {O{B^2} - O{H^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = OH\sqrt {8 - O{H^2}} = x\sqrt {8 - {x^2}} = f(x)\end{array}\)
Xét hàm số \(f(x) = x\sqrt {8 - {x^2}} \)với \(x \in \left[ {0;1} \right]\)
\(f'(x) = \sqrt {8 - {x^2}} - \dfrac{{{x^2}}}{{\sqrt {8 - {x^2}} }} = \dfrac{{8 - 2{x^2}}}{{\sqrt {8 - {x^2}} }}\)
\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2(L)\\x = - 2(L)\end{array} \right.\)
Có \(f(0) = 0\) \(f(1) = \sqrt 7 \). Vậy \(\mathop {\max f}\limits_{\left[ {0;1} \right]} (x) = \sqrt 7 \Rightarrow {S_{\max }} = \sqrt 7 \).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
