Trong tất cả các cặp (x;y) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {4x + 4y - 4} \right) \ge 1\) . Tính

Câu hỏi số 560990:

Vận dụng

Trong tất cả các cặp (x;y) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}\left( {4x + 4y - 4} \right) \ge 1\) . Tính tích các số dương m để tổn tại duy nhất cặp (x; y) sao cho \({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 2 - m = 0\) .

A. \(\sqrt {10} \).

B. 64.

C. 2.

D. 8.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560990

Phương pháp giải

Biến đổi bất đẳng thức loga đưa về dạng phương trình đường tròn và biện luận theo hình tọa độ.

Giải chi tiết

Ta có: \({\log _{{x^2} + {y^2} + 2}}(4x + 4y - 4) \ge 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 4x - 4y + 6 \le 0\) (1)

Giả sử M(x;y) thỏa mãn bất phương trình (1), khi đó tập hợp điểm M là hình tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tâm \(I\left( {2;2} \right)\) bán kính \({R_1} = \sqrt 2 \).

Vì m > 0 nên dễ thấy \({x^2} + {y^2} + 2x - 2y + 2 - m = 0\) là phương trình đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) tâm \(J\left( { - 1;1} \right)\) bán kính \({R_2} = \sqrt m \).

Vậy để tồn tại duy nhất cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn đề bài khi chỉ khi \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) tiếp xúc ngoài hoặc tiếp xúc trong.

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}IJ = {R_1} + {R_2}\\IJ = {R_1} - {R_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {10} = \sqrt m + \sqrt 2 \\\sqrt {10} = \sqrt m - \sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = {\left( {\sqrt {10} - \sqrt 2 } \right)^2}\\m = {\left( {\sqrt {10} + \sqrt 2 } \right)^2}\end{array} \right.\)

Tích các số m: \({\left( {\left( {\sqrt {10} - \sqrt 2 } \right)\left( {\sqrt {10} + \sqrt 2 } \right)} \right)^2} = 64.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.