Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB = 2a. Hình chiếu vuông góc của

Câu hỏi số 560994:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có mặt đáy là tam giác đều cạnh AB = 2a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \(60^\circ \). Tang góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (ABC) bằng

A. \(\dfrac{1}{4}\) .

B. 2.

C. 4.

D. \(\sqrt 2 \) .

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560994

Giải chi tiết

Cách 1. Gọi E là điểm đối xứng với H qua điểm B ta có:

A'H // B'E và \(B'E \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow B'E = A'H = a\sqrt 3 \)

Kẻ\(EK \bot BC;EF \bot B'K\). Ta có \(BC \bot \left( {B'EK} \right) \Rightarrow BC \bot B'K\).

Khi đó \(\left( {\left( {BCC'B'} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {B'K,EK} \right) = \widehat {B'KE}\) .

Xét tam giác KEB vuông tại K và \(\widehat {KBE} = 60^\circ \) ta có \(EK = BE\sin 60^\circ = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a\)

Xét tam giác B'EK vuông tại E có \(\tan \angle B'KE = \dfrac{{B'E}}{{EK}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = 2\)

Cách 2. [Phương pháp tọa độ]

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho\(H\left( {0;0;0} \right),{\rm{ }}B\left( {a;0;0} \right),{\rm{ }}A\left( { - a;0;0} \right),C\left( {0;a\sqrt 3 ;0} \right),A'\left( {0;0;a\sqrt 3 } \right)\)

Mặt phẳng (ABC): z = 0 có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\) .

Mặt phẳng (BCB') có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BB'} } \right] = {a^2}\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 ;1; - 1} \right)\).

\(\cos \left( {\left( {BCC'B'} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow \tan \left( {\left( {BCC'B'} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = 2\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.