Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0\,;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) thỏa

Câu hỏi số 561417:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0\,;\dfrac{\pi }{2}} \right]\) thỏa mãn:

\(2\cos x.f\left( {1 + 4\sin x} \right) - \sin 2x.f\left( {3 - 2\cos 2x} \right)\)\( = \sin 4x + 4\sin 2x\, - 4\cos x\), \(\forall x \in \left[ {0\,;\dfrac{\pi }{2}} \right]\).

Khi đó \(I = \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} \) bằng

A. 16

B. 0

C. 2

D. 8

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:561417

Phương pháp giải

- Lấy tích phân từ \(0\) đến \(\dfrac{\pi }{2}\) hai vế.

- Sử dụng phương pháp đưa biến vào vi phân.

Giải chi tiết

Ta có: \(2\cos x.f\left( {1 + 4\sin x} \right) - \sin 2x.f\left( {3 - 2\cos 2x} \right) = \sin 4x + 4\sin 2x\, - 4\cos x\,\,\,(*)\)

Lấy tích phân từ \(0\) đến \(\dfrac{\pi }{2}\) hai vế của \((*)\) ta được:

\(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2\cos x.f\left( {1 + 4\sin x} \right)dx} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x.f\left( {3 - 2\cos 2x} \right)dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin 4x + 4\sin 2x\, - 4\cos x} \right)dx} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {1 + 4\sin x} \right)d(1 + 4\sin x)} - \dfrac{1}{4}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {3 - 2\cos 2x} \right)d(3 - 2\cos 2x)} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\int\limits_1^5 {f\left( t \right)dt} - \dfrac{1}{4}\int\limits_1^5 {f\left( t \right)dt} = 0 \Leftrightarrow \int\limits_1^5 {f\left( t \right)dt} = 0 \Leftrightarrow \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} = 0\end{array}\)

Vậy \(I = \int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} \) = 0.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.