Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} +

Câu hỏi số 561947:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 4\) và điểm \(A\left( {2;2;2} \right)\). Từ \(A\) kẻ ba tiếp tuyến \(AB,AC,AD\) với \(B,C,D\) là các tiếp điểm. Viết phương trình mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\).

A. \(2x + 2y + z - 1 = 0\)

B. \(2x + 2y + z - 3 = 0\)

C. \(2x + 2y + z + 1 = 0\)

D. \(2x + 2y + z - 5 = 0\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:561947

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {0;0;1} \right)\), bán kính \(R = 2\)

Có \(\overrightarrow {IA} = \left( {2;2;1} \right) \Rightarrow IA = 3\)

Tam giác \(ABI\) vuông tại \(B\) nên ta có: \(AB = \sqrt {I{A^2} - I{B^2}} = \sqrt 5 \)

Gọi \(H\left( {x,y,z} \right)\) là chân đường cao kẻ từ \(B\) của tam giác \(ABI\).

Ta có: \(I{B^2} = IH.IA \Rightarrow IH = \dfrac{{I{B^2}}}{{IA}} = \dfrac{4}{3} \Rightarrow IH = \dfrac{4}{9}IA\)

Từ đó ta suy ra được: \(\overrightarrow {IH} = \dfrac{4}{9}\overrightarrow {IA} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 0 = \dfrac{4}{9}.2\\y - 0 = \dfrac{4}{9}.2\\z - 1 = \dfrac{4}{9}.1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{8}{9}\\y = \dfrac{8}{9}\\z = \dfrac{{13}}{9}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\dfrac{8}{9};\dfrac{8}{9};\dfrac{{13}}{9}} \right)\)

Mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) vuông góc với đường thẳng \(IA\) nên nhận \(\overrightarrow {IA} = \left( {2;2;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Mà mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) đi qua điểm \(H\).

Vậy \(\left( {BCD} \right)\) có phương trình: \(2\left( {x - \dfrac{8}{9}} \right) + 2\left( {y - \dfrac{8}{9}} \right) + 1\left( {z - \dfrac{{13}}{9}} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y + z - 5 = 0\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.